Ti84: Scientific Calculator with Grpher Android Emulator

ပြောင်းလဲလာမယ့် ပညာရေး စနစ်မှာ graphing calculator ဆိုတာ အထက်တန်းဆင့် ကျောင်းသားများအတွက် မရှိမဖြစ်လိုအပ်တဲ့ instrument တစ်ခုပါ လက်ရှိပညာရေးအတွက် အသုံးပြုမယ့် scientific calculator ကတော့ fx 991 es plus လို့ online ပေါ်မှာ သတင်းတွေ ထွက်လာတာလဲ တွေ့ရပါတယ်။

Scientific Calculator တွေမှာ နာမည်ကြီးတာကတော့ ဂျပန်နိုင်ငံထုတ် Fx Series တွေနဲ့ အမေရိကထုတ် Ti Series တွေပါ။ နာမည်ကြီးသလို အသုံးပြုနိုင်မှုကလည်း အလွန်ကောင်းပါတယ်။ လွန်ခဲ့သော အနှစ် ၂၀ လောက်က dot matrix graphing calculator တစ်လုံးကိုင်ထားနိုင်ရင် ကျောင်းသားတွေကြားမှာ အားထားရသူတစ်ယောက် ဖြစ်ရလောက်အောင် မျက်နှာပန်းပွင့်ခဲ့တာပေါ့။

ယနေ့အင်တာနက်တွေ ရှိလာတော့ online အသုံးပြုမှု‌တွေ တွင်ကျယ်လာပြီး၊ graphing calculator သာမဟုတ်၊ symbolab, wolframalpha, desmos, geogebra အစရှိတဲ့ powerful symbolic solver တွေ က လွှမ်းမိုးနေရာယူလာပေမယ့် စာသင်ခန်းနဲ့ စာမေးပွဲလို offline အသုံးပြုရမယ့် နေရာတွေမှာတော့ scientific calculator တွေဟာ မရှိမဖြစ်လိုအပ်နေဆဲပါ။ ဒါ့အပြင် Online Solver တွေက အင်တာရှိမှ သုံးလို့ရမှာ ဖြစ်ပေမယ့် Scientific calculator တွေကတော့ offline သုံးနိုင်မှာ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် ယနေ့ကျောင်းသားတိုင်းမှာ scientific calculator တစ်ခုရှိဖို့ လိုအပ်လာပါပြီ။

Android phone တွေ တွင်ကျယ်လာလို့ scientific calculator တွေကို android app အနေနဲ့ သုံးလို့ရလာလို့ စာသင်ခန်း၊ စာမေးပွဲခန်း မဟုတ်တဲ့နေရာတွေမှာတော့ calculator တွေကို phone ပေါ်မှာ သုံးနိုင်ပြီ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် scientific calculator တွေ သုံးလာရတော့မယ့် အခြေအနေမှာ ကျောင်းသားတွေ အနေနဲ့ကော ဆရာတွေ အနေနဲ့ပါ scientific calculator အသုံးပြုနည်းတွေကို လေ့လာထားသင့်ပြီလို့ ယူဆမိပါတယ်။

Scientific Calculator android app တွေ များစွာရှိတဲ့ အထဲက အမေရိကန်ထုတ် Ti84 Scientific Calculator + Graphig Calculator ကတော့ အသုံးပြုနိုင်မှု Function စုံလင်သလို စျေးကလဲကြီးပါတယ်။ Powerful Calculator တစ်ခုလဲ ဖြစ်ပါတယ်။ အခု post မှာတော့ Android phone မှာ သုံးနိုင်တဲ့ Ti84 Android Emulator ကို တင်ပြပေးပါမယ်။ Ti84 မှာ သုံးနိုင်တဲ့ Functions တွေစုံလင် များပြားလွန်းတာကြောင့် ဒီ post မှာ အကုန်တင်ပြနိုင်မှာ မဟုတ်ပါဘူး။ စာရေးသူလဲ Function အားလုံးကို မသုံးနိုင်ပါဘူး။ ကျောင်းသားအများစုအတွက် အခြေခံအသုံးပြုနိုင်တဲ့ Function တစ်ချို့ကို တင်ပြသွားမှာပါ။ အသုံးပြုနည်းမဟုတ်ပါ။

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Ti84 မှာသုံးနိုင်တာတွေထဲက လက်လှမ်းမီသလောက် တင်ပြရရင်

• basic numeric operation
• solving two to five unknown simultaneous linear equations
• solving polynomial to fifth degree
• logarithms of any base
• statistics, probability
• complex number system
• cartesin and polar coordinate system
• trigonometry
• calculus
• matrix and vectors
• graphing functions
• discriminant of polynomial
• python programming

စတာတွေ ဖြစ်ပါတယ်။ အခုပြောခဲ့တာ အပြင် အခြားလုပ်ဆောင်နိုင်တဲ့ Functions များစွာရှိပါတယ် ဥပမာ symbolic derivative, symbolic integration လိုမျိုးကို တွက်ပြနိုင်ပါတယ် Scientific calculator အများစုဟာ numerical operation ကိုသာ တွက်ပြနိုင်ပါတယ်။ Symbolic operation ကို Online Solver တွေမှသာ ဖြေရှင်းနိုင်ပေမယ့် Differentiation နဲ့ Integration ကိုတော့ Ti84 မှာ ဖြေရှင်းပေးနိုင်ပါတယ်။ Python ကိုနားလည်ရင် ကိုယ်တိုင် program ရေပြီး solve လုပ်နိုင်ပါသေးတယ်။

Funtion တစ်ခုချင်းစီအတွက် Function tip တွေပါလို့ ဆက်လက်လေ့လာ သုံးစွဲကြည့်ဖို့တိုက်တွန်းပါတယ်။ hard device ဝယ်သုံးနိုင်ရင် အကောင်းဆုံးပါ။ နောင်မှာ စာသင်ခန်းသုံး အနေနဲ့လည်း အဆင်ပြေမှာ ဖြစ်ပေမယ့် Hard device မရှိသေးရင်တော့ android emulator ကို download ယူပြီး android phone နဲ့ သုံးနိုင်တယ်။

Quadratic Function : Multiple Choice Questions

ဖုန်းဖြင့်ကြည့်သည့်အခါ စာများကို အပြည့်မမြင်ရလျှင် screen ကို ဘယ်ညာ ဆွဲကြည့်နိုင်ပါသည်။

Important Notes

Quadratic Function (Standard Form)	$f(x)=a x^{2}+b x+c, a \neq 0$
Graph	Parabola $a>0$ (opens upward) $a<0$ (opens downward)
Axis of Symmetry	$x=-\displaystyle\frac{b}{2 a}$
Vertex	$\left(-\displaystyle\frac{b}{2 a}, f\left(-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right)\right)=\left(-\displaystyle\frac{b}{2 a},-\displaystyle\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right)$
y-intercept	(0, c)
Discriminant	$b^{2}-4 a c$ $b^{2}-4 a c>0 \Rightarrow$ two $x$ intercepts (cuts $x-$ axis at two points) $b^{2}-4 a c=0 \Rightarrow$ one $x$ intercepts (touch $x$ -axis at one point $)$ $b^{2}-4 a c=0 \Rightarrow$ one $x$ intercepts (does not intersect $x$ -axis)
Quadratic Equation	$a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$
Quadratic Formula	$x=\displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
Quadratic Function (Vertex Form)	$f(x)=a(x-h)^{2}+k, a \neq 0$
Vertex	$(h, k)$
Axis of Symmetry (Vertex Form)	$x=h$
Quadratic Function (Intercept Form when discriminant $>0$)	$f(x)=a(x-p)(x-q), a \neq 0$
$X$ -intercept points	$(p, 0)$ and $(q, 0)$
Axis of Symmetry	$x=\displaystyle\frac{p+q}{2}$
Quadratic Inequality	$a x^{2}+b x+c>0$ $a x^{2}+b x+c \geq 0$ $a x^{2}+b x+c<0$ $a x^{2}+b x+c \leq 0$
$a>0$ and $b^2-4ac<0$	The graph does not cut the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R}$
$a<0$ and $b^2-4ac<0$	The graph does not cut the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$
$a>0$ and $b^2-4ac=0$	The graph touches the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R} \backslash\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$
$a<0$ and $b^2-4ac=0$	The graph touches the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R} \backslash\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$
$a>0$ and $b^2-4ac>0$	The graph cuts the $x$ -axis at two points. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid p<x<q\}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\{p, q\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid x<p$ or $x>q\}$
$a<0$ and $b^2-4ac>0$	The graph cuts the $x$ -axis at two points. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid x<p$ or $x>q\}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\{p, q\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid p<x<q\}$

အထက်ဖော်ပြပါ quadratic function နှင့်ဆိုင်သော definitions နှင့် concepts များကိုသိရှိနားလည်ပြီးလျှင် အောက်ပါ MCQ များကို လေ့ကျင့် ဖြေဆိုနိုင်ပါပြီ။ ဖြေဆိုပြီးကြောင်း Submit လုပ်ပြီးလျှင် ရမှတ်နှင့် အဖြေမှန်ကိုပါ ပြပေးမည် ဖြစ်သည်။ ရှင်းလင်းချက်မပါဝင်ပါ။

MCQ Test

Multiple Choice : Logarithms

တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း မေးခွန်းမှာ MCQ Format မပါတော့ပေမယ့် Multiple Choice Question ဆိုတာ ကျောင်းသားရဲ့ ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ နားလည်တတ်သိမှု၊ ဖြတ်ထိုးဉာဏ်၊ ဆင်ခြင်နိုင်စွမ်း စတာတွေကို စစ်ဆေးတာဖြစ်လို့ လေ့ကျင့်ထားသင့်ပါတယ်။ နိုင်ငံတကာ တက္ကသိုလ်ဝင် စာမေးပွဲများမှာလည်း MCQ ကိုပဲ ဦးစားပေး မေးလေ့ရှိတာမို့ နိုင်ငံရပ်ခြား ကျောင်းတက်ဖို့ စာမေးပွဲဖြေဆိုမည့်သူများ အတွက်လည်း အသုံးဝင်ပါလိမ့်မယ်။

Definition: Logarithm

Let $N$ and $b$ be positive real numbers, with $b \neq 1$. Then the logarithm of $N$ (with respect) to the base $b$ is the exponent by which $b$ must be raised to yield $N$, and is denoted by $\log _{b} N$

Rules of Logarithms

$\begin{array}{ll} \text{L}1. & N=b^{\log _{b} N}\\\\ \text{L}2. & x=\log _{b} b^{x}\\\\ \text{L}3. & \log _{b} b=1\\\\ \text{L}4. & \log _{b} 1=0\\\\ \text{L}5. & \log _{b}(M N)=\log _{b} M+\log _{b} N\\\\ \text{L}6. & \log _{b} N^{p}=p \log _{b} N\\\\ \text{L}7. & \log _{b}\left(\displaystyle\frac{M}{N}\right)=\log _{b} M-\log _{b} N\\\\ \text{L}8. & \log _{a} N=\displaystyle\frac{\log _{b} N}{\log _{b} N}\\\\ \text{L}9. & \log _{a} N=\displaystyle\frac{1}{\log _{N} a}\\\\ \text{L}10. & \log _{a^{p}} N=\displaystyle\frac{1}{p} \log _{a} N\\\\ \text{L}11. & a^{\log _{k} b}=b^{\log _{k} a} \end{array}$

Common Logarithm

The logarithm of $N$ to the base $10\left(\log _{10} N\right)$ is said to be a common logarithm, and is usually written as $\log N$ (omitting the base). where $n$ is called the characteristic and $\log a$ is called the mantissa of $\log N$.

$\begin{array}{|l|} \hline\log _{10} N=\log N\\ \hline \end{array}$
If $\quad N=a \times 10^{n}$,

then $\quad \log N=\log \left(a \times 10^{n}\right)=\log 10^{n}+\log a=n+\log a$ where $n$ is called the characteristic and $\log a$ is called the mantissa of $\log N$.

Note that $n$ is an integer and $1 \leq a<10$

Euler's Number

As a positive integer $n$ become very large, the value of $\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{n}$ approaches an irrational number, which is denoted by $e$.

Natural Logarithm

The logarithm of $N$ to the base $e$ is called a natural logarithm, and is denoted by $\ln N$.

$\begin{array}{|l|} \hline\log _{e} N=\ln N\\ \hline \end{array}$

MCQ Test

1.	If $\log _{10} x=3$ then $x=$ A. $500$ B. $\displaystyle\frac{10}{3}$ C. $700$ D. $ 1000$
2.	If $\log _{7} x=2$, then $x=$ A. $14$ B. $49$ C. $128$ D. $64$
3.	The characteristic of log 19 is A. $0$ B. $10$ C. $2$ D. $ 1$
4.	The characteristic of $\log 3.216$ is A. $0$ B. $4$ C. $3$ D. $10$
5.	Common logarithm has the base A. $2$ B. $e$ C. $\pi$ D. $ 10$
6.	In scientific notation $0.00416$ is written as A. $0.0416 \times 10^{-1}$ B. $0.416 \times 10^{-2}$ C. $ 4.16 \times 10^{-3}$ D. $41.6 \times 10^{-4}$
7.	In decimal form $2.35 \times 10^{-2}$ is written as A. $2.35$ B. $0.0235$ C. $0.00235$ D. $0.000235$
8.	$\log 5+\log 8-\log 3=$ A. $5 \log \displaystyle\frac{8}{3}$ B. $3 \log 40$ C. $\log \displaystyle\frac{40}{3}$ D. $3 \log \displaystyle\frac{5}{8}$
9.	$\log 50$ can be written as A. $\log 2+2 \log 5$ B. $\log 2+\log 15$ C. $\log 2+5\log 2$ D. $\log 2+\log 5$
10.	3 is the characteristic in the logarithm of the number A. $879.2$ B. $87.92$ C. $8.792$ D. $8792$
11.	If $\log _{2} 8=x$ then $x=$ A. $2^{8}$ B. $64$ C. $3^{2}$ D. $3$
12.	$5^{4}=625$ is written in the logarithmic form as A. $\log 5=625$ B. $\log _{5} 4=625$ C. $\log _{5} 625=4$ D. $\log _{4} 625=5$
13.	If $\log _{81} x=-\displaystyle\frac{3}{4}$ then $x=$ A. $27$ B. $\displaystyle\frac{1}{3}$ C. $\displaystyle\frac{1}{27}$ D. $\displaystyle\frac{1}{9}$
14.	If antilog $3.8716=7440$ and $\log x=0.8716$ then $x=$ A. $74.40$ B. $7.440$ C. $744.0$ D. $7440$
15.	If $\log 5=0.6990$ and $\log 3=0.4771$, then $\log 45=$ A. $1.6532$ B. $1.1761$ C. $1.8751$ D. $1.2219$
16.	3 log2 $-2$ log5 in the simplified form is A. $\log \displaystyle\frac{6}{10}$ B. $\log \displaystyle\frac{9}{12}$ C. $\log \displaystyle\frac{8}{25}$ D. $\log \displaystyle\frac{25}{8}$
17.	If $\log _{x} 81=4$ then $x=$ A. $3$ B. $2$ C. $-1$ D. $0$
18.	If $\log _{8} x=\displaystyle\frac{2}{3}$ then $x=$ A. $2$ B. $4$ C. $3$ D. $-1$
19.	$3 \log 2+\log 3=\log x$ then $x=$ A. $12$ B. $18$ C. $24$ D. $30$
20.	If $\log _{4} 64=x$, then $x=$ A. $2$ B. $-1$ C. $0$ D. $3$
21.	If $\log _{81} 9=x$, then $x=$ A. $3$ B. $2$ C. $1$ D. $\displaystyle\frac{1}{2}$
22.	If $\log_{x} 49=2 ; x=$ A. $6$ B. $3$ C. $7$ D. $0$
23.	If $\log 35+\log 36=\log (3 x)$ then $x=$ A. $400$ B. $420$ C. $520$ D. $600$
24.	$\log 3+\log 6-\log 2=\log x$ then $x=$ A. $10$ B. $9$ C. $8$ D. $7$
25.	$\log_{x} 36=2$ then $x=$ A. $5$ B. $8$ C. $2$ D. $6$
26.	If $\log_{8} 16=x$, then $x=$ A. $\displaystyle\frac{4}{3}$ B. $\displaystyle\frac{1}{2}$, C. $2$ D. $-\displaystyle\frac{1}{2}$
27.	$\log 5+\log 8-\log 6=$ A. $\log 7$ B. $\log \displaystyle\frac{13}{6}$ C. $\log \displaystyle\frac{40}{6}$ D. $\log 50$
28.	The characteristic of $\log 0.00329$ is A. $\overline{1}$ B. $\overline{3}$ C. $\overline{2}$ D. $0$
29.	The characteristic of $\log 1.02$ is A. $1$ B. $\overline{3}$ C. $0$ D. $-1$
30.	If $\log _{10} 100=x$, then $x=$ A. $2$ B. $1$ C. $0$ D. $-1$
31.	The characteristic of $\log 0.000753$ is A. $\overline{1}$ B. $\overline{2}$ C. $\overline{3}$ D. $\overline{4}$
32.	The exponential form of $y=\log _{a} x$ is A. $ x=y$ B. $a^{y}=x$ C. $x^{y}=a$ D. $a=x^{y}$
33.	The logarithmic form of $a=y^x$ is A. $\log _{a} x=y$ B. $ \log _{y} a=x$ C. $\log _{x} y=a$ D. $\log _{a} y=x$
34.	The integral part of logarithm is called A. determinant B. matrix C. mantissa D. characteristic
35.	The decimal part of logarithm is called A. determinant B. set C. mantissa D. characteristic
36.	$ \displaystyle\frac{\log 5}{\log 3}=$ A. $\log 5-\log 3$ B. $\log_{3} 5$ C. $\log_{5} 3$ D. $\log\displaystyle\frac{ 5}{3}$
37.	$\log 729=$ A. $\log 3$ B. $6 \log 3$ C. $\log 6$ D. $\log 3+\log 6$
38.	If $\log 2=0.3010 . \log 3=0.4771, \log 5=0.6990$ then $\log 30=$ A. $1.4771$ B. $0.4771$ C. $-0.4771$ D. $-1.4771$
39.	If $\log 2=0.3010, \log 3=0.4771$ then $\log 4.5=$ A. $0.7781$ B. $0.1761$ C.$0.6532$ D. $1.6532$
40.	If $\log _{10} 7=a$, then $\log _{10}\left(\displaystyle\frac{1}{70}\right)=$ A. $-(1+a)$ B. $\displaystyle\frac{1}{1+a}$ C. $\displaystyle\frac{a}{10}$ D. $\displaystyle\frac{1}{10 a}$
41.	$\displaystyle\frac{1}{\log _{a} b} \times \displaystyle\frac{1}{\log _{b} c} \times \displaystyle\frac{1}{\log _{c} a}=$ A. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $a b c$
42.	If $\log _{10} 2=a$ and $\log _{10} 3=b$ then $\log _{5} 12=$ A. $\displaystyle\frac{a+b}{1+a}$ B. $\displaystyle\frac{2 a+b}{1+a}$ C. $\displaystyle\frac{a+2 b}{1+a}$ D. $\displaystyle\frac{2 a+b}{1-a}$
43.	If $\log _{a}(a b)=x$, then $\log _{b}(a b)=$ A. $\displaystyle\frac{1}{x}$ B. $\displaystyle\frac{x}{x+1}$ C. $\displaystyle\frac{x}{1-x}$ D. $\displaystyle\frac{x}{x-1}$
44.	$2 \log _{10} 5+\log _{10} 8-\displaystyle\frac{1}{2} \log _{10} 4=$ A. $2$ B. $4$ C. $2\left(1-\log _{10} 1\right)$ D. $4\left(1-\log _{10} 1\right)$
45.	If $\log _{5}\left(x^{2}+x\right)-\log _{5}(x+1)=2$, then $x=$ A. $5$ B. $10$ C. $25$ D. $\displaystyle\frac{1}{5}$
46.	If $\log _{10} x-5 \log _{10} 3=-2$, then $x=$ A. $\displaystyle\frac{80}{100}$ B. $\displaystyle\frac{81}{100}$ C. $\displaystyle\frac{125}{100}$ D. $\displaystyle\frac{243}{100}$
47.	If $\log _{3} x+\log _{9} x^{2}+\log _{27} x^{3}=9$, then $x=$ A. $3$ B. $9$ C. $27$ D. $\displaystyle\frac{1}{3}$
48.	If $a=\log _{8} 225$ and $b=\log _{2} 15$, then $\displaystyle\frac{a}{b}=$ A. $\displaystyle\frac{1}{3}$ B. $\displaystyle\frac{2}{3}$ C. $\displaystyle\frac{3}{2}$ D. $3$
49.	If the logarithm of a number is $-3.153$, what are characteristic and mantissa? A. characteristic $=-4, \quad$ mantissa $=0.847$ B. characteristic $=-4, \quad$ mantissa $=0.153$ C. characteristic $=4, \quad$ mantissa $=-0.847$ D. characteristic $=-3, \quad$ mantissa $=-0.153$
50.	If $\log \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)+\log \left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)=\log (a+b)$, then A. $a+b=1$ B. $a-b=1$ C. $a=b$ D. $a^{2}+b^{2}=1$

Answer Keys

$\begin{array}{|ll|ll|ll|ll|ll|} \hline 1. &\text {D} & 2. &\text {B} & 3. &\text {D} & 4. &\text {A} & 5. &\text {D} \\ \hline 6. &\text {C} & 7. &\text {B} & 8. & \text{C} & 9. &\text {A }& 10.&\text {D} \\ \hline 11.&\text {D} & 12.&\text {C} & 13.&\text {C} & 14.&\text {B} & 15.&\text {A} \\ \hline 16.&\text {C} & 17.&\text {A} & 18.&\text {B} & 19.&\text {C} & 20.&\text {D} \\ \hline 21.&\text {D} & 22.&\text {C} & 23.&\text {B} & 24.&\text {B} & 25.&\text {D} \\ \hline 26.&\text {A} & 27.&\text {C} & 28.&\text {B} & 29.&\text {C} & 30.&\text {A} \\ \hline 31.&\text {D} & 32.&\text {B} & 33.&\text {B} & 34.&\text {D} & 35.&\text {C} \\ \hline 36.&\text {B} & 37.&\text {B} & 38.&\text {A} & 39.&\text {C} & 40.&\text {A} \\ \hline 41.&\text {C} & 42.&\text {D} & 43.&\text {D} & 44.& \text {A}& 45.&\text {C} \\ \hline 46.&\text {D} & 47.&\text {C} & 48.&\text {B} & 49.&\text {A} & 50.&\text {A} \\ \hline \end{array}$

Problems : Quadratic Functions

Important Notes

Quadratic Function (Standard Form)	$f(x)=a x^{2}+b x+c, a \neq 0$
Graph	Parabola $a>0$ (opens upward) $a<0$ (opens downward)
Axis of Symmetry	$x=-\displaystyle\frac{b}{2 a}$
Vertex	$\left(-\displaystyle\frac{b}{2 a}, f\left(-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right)\right)=\left(-\displaystyle\frac{b}{2 a},-\displaystyle\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right)$
y-intercept	(0, c)
Discriminant	$b^{2}-4 a c$ $b^{2}-4 a c>0 \Rightarrow$ two $x$ intercepts (cuts $x-$ axis at two points) $b^{2}-4 a c=0 \Rightarrow$ one $x$ intercepts (touch $x$ -axis at one point $)$ $b^{2}-4 a c=0 \Rightarrow$ one $x$ intercepts (does not intersect $x$ -axis)
Quadratic Equation	$a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$
Quadratic Formula	$x=\displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
Quadratic Function (Vertex Form)	$f(x)=a(x-h)^{2}+k, a \neq 0$
Vertex	$(h, k)$
Axis of Symmetry (Vertex Form)	$x=h$
Quadratic Function (Intercept Form when discriminant $>0$)	$f(x)=a(x-p)(x-q), a \neq 0$
$X$ -intercept points	$(p, 0)$ and $(q, 0)$
Axis of Symmetry	$x=\displaystyle\frac{p+q}{2}$
Quadratic Inequality	$a x^{2}+b x+c>0$ $a x^{2}+b x+c \geq 0$ $a x^{2}+b x+c<0$ $a x^{2}+b x+c \leq 0$
$a>0$ and $b^2-4ac<0$	The graph does not cut the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R}$
$a<0$ and $b^2-4ac<0$	The graph does not cut the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$
$a>0$ and $b^2-4ac=0$	The graph touches the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R} \backslash\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$
$a<0$ and $b^2-4ac=0$	The graph touches the $x$ -axis. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\mathbb{R} \backslash\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\left\{-\displaystyle\frac{b}{2 a}\right\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\varnothing$
$a>0$ and $b^2-4ac>0$	The graph cuts the $x$ -axis at two points. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid p<x<q\}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\{p, q\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid x<p$ or $x>q\}$
$a<0$ and $b^2-4ac>0$	The graph cuts the $x$ -axis at two points. $y<0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid x<p$ or $x>q\}$ $y=0 \Rightarrow$ solution set $=\{p, q\}$ $y>0 \Rightarrow$ solution set $=\{x \mid p<x<q\}$

Example (1)

The equation $k x^{2}+5 k x+3=0$, where $k$ is a constant, has no real roots. Prove that $k$ satisfies the inequality $0 \leq k < \displaystyle\frac{12}{25}$.

Solution

If $k=0,3=0$ is impossible.

Therefore $k x^{2}+5 k x+3=0$ has no real root when $k=0 \quad---(1)$

$k x^{2}+5 k x+3=0$

Since the equation has no real root, discriminant $ < 0 $.

$\therefore(5 k)^{2}-4 k(3)< 0 $

$25 k^{2}-12 k<0$

$k(25 k-12)< 0$

Dividing both sides with 25 ,

$k\left(k-\displaystyle\frac{12}{25}\right)<0$

$0 < k <\displaystyle\frac{12}{25} \quad---(2)$

By equations (1) and (2), $0 \leq k < \displaystyle\frac{12}{25}$

Example (2)

Prove that $x^{2}+8 x+20 \geqslant 4$ for all values of $x$.

Solution

$x^{2}+8 x+20$

$=x^{2}+2 x(4)+4^{2}+4$

$=(x+4)^{2}+4$

Since $(x+4)^{2} \geq 0$ for all $x \in \mathbb{R}$,

$(x+4)^{2}+4 \geq 4$ for all $x \in \mathbb{R}$

$\therefore x^{2}+8 x+20 \geq 4$ for all $x \in \mathbb{R}$

Example (3)

Find the suitable domain of the function $f(x)=1+3 x-2 x^{2}$ for which the curve of $f(x)$ lies completely above the line $y=-1$.

Solution

$f(x)=1+3 x-2 x^{2}$

By the problem, $f(x)>-1$.

$\therefore 1+3 x-2 x^{2}>-1$

$\therefore 2+3 x-2 x^{2}>0$

$\therefore(1+x)(4-x)>0$

$\therefore \quad-1< x < 4$

$\therefore \operatorname{dom}(f)=\{x \mid-1<x<4\}$

Example (4)

The ratio of the lengths $a: b$ in this line is the same as the ratio of the lengths $b: c$.

Solution

By the diagram, $a=b+c$

By the problem, $\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{b}{c}$

$\therefore \displaystyle\frac{b+c}{b}=\displaystyle\frac{b}{c}$

$\therefore b^{2}=b c+c^{2}$

$\therefore b^{2}-b c-c^{2}=0$

Dividing both sides with $c^{2}$,

$\left(\displaystyle\frac{b}{c}\right)^{2}-\displaystyle\frac{b}{c}-1=0$

$\therefore \displaystyle\frac{b}{c}=\displaystyle\frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}$

$\therefore \displaystyle\frac{b}{c}=\displaystyle\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Since $b, c>0, \displaystyle\frac{b}{c}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Example (5)

Show that the infinite square root $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} .$ Solution Let $x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}}$ Squaring both sides, $x^{2}=1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}$ $\therefore x^{2}=1+x$ $\therefore x^{2}-x-1=0$ $\therefore x=\displaystyle\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ Since $x>0, x =\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\therefore \quad \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} .$

Exercises

1.	Use completing the square to prove that $3 n^{2}-4 n+10$ is positive for all values of $n$.
2.	Use completing the square to prove that $-n^{2}-2 n-3$ is negative for all values of $n$.
3.	Find the values of $k$ for which $x^{2}+6 x+k=0$ has two real solutions.
4.	Find the value of $t$ for which $2 x^{2}-3 x+t=0$ has exactly one solution.
5.	Given that the function $f(x)=s x^{2}+8 x+s$ has equal roots, find the value of the positive constant $s$.
6.	Find the range of values of $k$ for which $3 x^{2}-4 x+k=0$ has no real solutions.
7.	The function $g(x)=x^{2}+3 p x+(14 p-3)$, where $p$ is an integer, has two equal roots.
	(a)	Find the value of $p$.
	(b)	For this value of $p$, solve the equation $x^{2}+3 p x+(14 p-3)=0$.
8.	$h(x)=2 x^{2}+(k+4) x+k$, where $k$ is a real constant.
	(a)	Find the discriminant of $h(x)$ in terms of $k$.
	(b)	Hence or otherwise, prove that $h(x)$ has two distinct real roots for all values of $k$.
9.	The equation $p x^{2}-5 x-6=0$, where $p$ is a constant, has two distinct real roots. Prove that $p$ satisfies the inequality $p>-\displaystyle\frac{25}{24} $.

Answer Keys

$\begin{array}{ll} 1. & \text{Hint:}\ 3\left(n-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{2}+\displaystyle\frac{26}{3}\\\\ 2. & \text{Hint:}\ -(n+1)^2-2\\\\ 3. & k<9 \\\\ 4. & t=\displaystyle\frac{9}{8}\\\\ 5. & s=4\\\\ 6. & \left\{x\ |\ k>\displaystyle\frac{4}{3}\right\}\\\\ 7. & \text{(a)}\ p=6, \text{(b)}\ x=-9\\\\ 8. & \begin{array}{ll} \text{(a)}& \text{discriminant}=(k+4)^2-8k \\ \text{(b)}& \text{Hint} : (k+4)^2-8k=k^2+16>0\ \text{for all values of}\ k \end{array}\\\\ 9. & \text{Hint: discriminant} >0 \end{array}$

Proof by Contradiction

စစ်ကိုမုန်း၍ တိုက်ခဲ့သည်

Introduction

Contradict = ဆန့်ကျင်သည်၊

Contradiction = ဆန့်ကျင်ခြင်း

Proof by Contradiction = ဆန့်ကျင်သက်သေပြခြင်း

Proof by Contradiction သည် A Level Mathematics တွင် မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းဖြစ်သည်။

အလွယ်ပြောရလျှင် မူလအဆိုပြုချက်ကို ဆန့်ကျင်ဘက် ယူဆပြီး၊ ယူဆချက်မှားကြောင်း သက်သေပြခြင်းဖြင့် မူလအဆို မှန်ကြောင်း ထောက်ခံခြင်းကို Proof by Contradiction ဟု ခေါ်ပါသည်။

တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ပတ်သက်ခြင်းမရှိသော ဖြစ်ရပ်များ (mutually exclusive events) များတွင် မှန်သော အကြောင်းအခြင်း အရာများသည် မည်သည့်အခါမျှ မမှားသကဲ့သို့ မှားသော အကြောင်းအခြင်းအရာများသည် မည်သည့်အခါမျှ မမှန်ပေ။ အဆိုပါ အယူအဆကိုလက်ကိုင်ပြု၍ Proof by Contradiction ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းလေ့ရှိသည်။

Examples

• စုံကိန်းများသည် 2 ၏ ဆတိုးကိန်းများ ဖြစ်သည်။


• မကိန်းများသည် 2 ဖြင့် စား၍ မပြတ်ပါ။


• Rational ကိန်းမှန်သမျှသည် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။


• Irrational ကိန်းများသည် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် မဖော်ပြနိုင်ပါ။

စသည်တို့သည် အမြဲမှန်သော မှန်ကန်ချက်များ ဖြစ်သည်။

မှန်သောအကြောင်းအရာကိုသာ မှန်ကြောင်းသက်သေပြနိုင်သည်။ တြိဂံသည် တြိဂံဖြစ်သောကြောင့်သာ တြိဂံဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ စတုဂံဖြစ်ကြောင်း သက်သေမပြနိုင်ပါ။ တြိဂံမြင်ပါလျှက် တြိဂံဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခိုင်း ခြင်းမှာ လက်တွေ့မဆန်ကြောင်း ဝေဖန်လေ့ရှိသည်။ လက်တွေ့ဆန်မှု မဆန်မှုကို စစ်ဆေးလိုခြင်းမဟုတ်ပဲ၊ ဘာသာရပ် နားလည်တတ်သိမှု၊ အယူအဆကို နားလည်မှု၊ ဝေါ်ဟာရသိရှိမှု၊ ဆင်ခြင်သုံးသပ်နိုင်မှု စသည့် သက်သေပြသူ၏ စွမ်းရည်ကို စစ်ဆေးခြင်းဖြစ်သည်။

Example (1)

Prove by contradiction that $\sqrt{2}$ is an irrational number. $\sqrt{2}$ သည် irrational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Irrational number ဆိုသည်မှာ အဆုံးမရှိ ပြန်မထပ် ဒသမကိန်း တစ်နည်း အပိုင်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ခြင်းမရှိသော မရှိသော ကိန်းများဖြစ်သည်။ ယခုပုစ္ဆာကို သက်သေပြရန် အပိုင်းကိန်း၏ သတ်မှတ်ချက်ကို သိရှိရန်လိုပါသည်။

အပိုင်းကိန်းဆိုသည်မှာ ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏ အချိုးဖြစ်သည်။ ပိုင်းခြေနှင့် ပိုင်းဝေနှစ်ခုလုံးသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ ပိုင်းဝေနှင့်ပိုင်းခြေသည် အငယ်ဆုံး ကျဉ်းပိုင်းပုံစံ ဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\displaystyle\frac{p}{q}$ ဟုရေးလျှင် $p$ နှင့် $q$ သည် $1$ မှ လွဲ၍ မည်သည့်ကိန်းနှင့်မှ စား၍ မပြတ်တော့သော ကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ရမည်။ တစ်နည်းဆိုသော် $p$ နှင့် $q$၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းမှာ $1$ သာ ဖြစ်ရမည်။ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းမှာ $1$ သာရှိသော ကိန်းနှစ်လုံးကို relatively prime numbers (သို့မဟုတ်) coprime numbers ဟုခေါ်သည်။ အပိုင်းကိန်းတစ်ခု တွင် ပိုင်းဝေနှင့်ပိုင်းခြေသည် coprime numbers များ ဖြစ်ရမည်။

$\sqrt{2}$ သည် irrational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ ဟုမေးထားသည် ဖြစ်ရာ ပေးထားအဆိုကို ဆန့်ကျင် ယူဆပါမည်။

ဆန့်ကျင် ယူဆချက်မှာ $\sqrt{2}$ သည် rational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $\sqrt{2}$ ကို $\displaystyle\frac{p}{q}$ ဟူ၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ $p$ နှင့် $q$ တွင် $1$ မှလွဲ၍ တူညီသော ဘုံဆခွဲကိန်း မရှိပါ။

ထို့ကြောင့် $p^2=2q^2$ ဖြစ်ပါမည်။

$p^2$ နှင့် $q^2$ နှစ်ထပ်ကိန်းများ (perfect square) များ တွေ့ရပါသည်။

နှစ်ထပ်ကိန်းများ ၏ ဂုဏ်သတ္တိမှာ မကိန်း ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် မကိန်း သာ ဖြစ်ပြီး စုံကိန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် စုံကိန်းသာ ဖြစ်သည်။

စုံကိန်းတစ်ခုသည် 2 ဖြင့်စား၍ ပြတ်သောကြောင့် မည်သည့်ကိန်း $k$ အတွက် မဆို $2k$ သည်စုံကိန်း ဖြစ်ပြီး စုံကိန်း မှ $1$ လျော့လျှင် (သို့) စုံကိန်းကို $1$ တိုးလျှင် မကိန်းဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် မည်သည့်ကိန်း $k$ အတွက် မဆို $2k\pm 1$ သည် မကိန်းဖြစ်သည်။

$2q^2$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သောကြောင့် $p^2$ သည် စုံကိန်းဖြစ်ပြီး $2q^2$ သည် စုံကိန်းဖြစ်ရန် $q^2$ သည် မကိန်းသာ ဖြစ်ရမည်။

ထို့ကြောင့် $q$ သည် မကိန်း ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $p$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $p =2k$ ဟု ယူဆနိုင်သည်။

ထို့ကြောင့် $(2k)^2=2q^2$ ဖြစ်မည်။

ထို့ကြောင့် $(q^2=2k^2$ ဖြစ်မည်။ ရလဒ်အရ $q^2$ သည် စုံကိန်းဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $q$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သည်။

အကြောင်းအခြင်းအရာ ညီညွတ်ခြင်း မရှိသောကြောင့် $\sqrt{2}$ သည် rational ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည် ဆိုသော ယူဆချက်မှန်ပါ။

ထို့ကြောင့် မူလအဆို $\sqrt{2}$ သည် irrational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုသည့် အဆိုမှာ မှန်သည်ဟု သက်သေပြနိုင်သည်။

Solution Assume that $\sqrt{2}$ is a rational number. Then$\sqrt{2}=\displaystyle \frac{p}{q}$ where $p$ and $q$ have no common factor. $\therefore\ \ p^2=2q^2$. $\therefore\ \ p^2$ is even that implies $p$ is even and hence $q^2$ and $q$ must be odd. Since $p$ is even, assume that $p=2k$ where $k$ is an integer. $\therefore\ \ (2k)^2=2q^2$ and $q^2 = 2k^2$ that implies $q$ is an even number and this is contradiction. Hence, we can say that $\sqrt{2}$ is an irrational number.

Example (2)

Prove by contradiction that for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ do not have a prime factor in common. $1$ ထက်ကြီး သောမည့်သည့်ကိန်းပြည့် $n$ အတွက်မဆို $n$ နှင့် $n+1$ တွင် တူညီသော သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း မရှိကြောင်း ဆန့်ကျင်သက်သေပြနည်း ဖြင့် သက်သေပြပါ။

$n$ နှင့် $n+1$ သည် ရှေ့နောက်ကပ်လျှက် ကိန်းပြည့်နှစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ဆခွဲကိန်း မရှိနိုင်ပါ။ မရှိကြောင်း ဆန့်ကျင် သက်သေပြရမည် ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $1$ ထက်ကြီး သောမည့်သည့်ကိန်းပြည့် $n$ အတွက်မဆို $n$ နှင့် $n+1$ တွင် တူညီသော သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း ရှိသည်ဟု ယူဆမည်။

အဆိုပါ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းသည် $p$ ဖြစ်ပါစေ။

ထို့ကြောင့် $n=pk$, $k$ သည် ကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

နှင့် $n+1 = pk$, $k$ သည် ကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $(n+1)-n = p(h-k)$ ဖြစ်မည်။

ဆက်လက်ဖြေရှင်းသော် $p (h-k) = 1$ ဖြစ်မည်။

အထက်ပါညီမျှခြင်းတွင် $p$ နှင့် $h-k$ တို့သည် မတူညီသော ဆခွဲကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

သို့ရာတွင် $1$ ၏ ဆခွဲကိန်းမှာ $1$ သာ ဖြစ်သောကြောင့် $p$ နှင့် $h-k$ တို့သည် မတူညီသော ဆခွဲကိန်းများ ဖြစ်ကြသည် ဆိုသော ရလဒ်မမှန်တော့ပါ။ ထို့ကြောင့် ဆန့်ကျင်ယူဆချက်မှားပြီး မူလအဆို မှန်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။

Solution Suppose that for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ have a prime factor $p$. Then we have $n=pk$ and $n+1=ph$ where $k$ and $h$ are distinct integers. Hence $(n+1)-n = p(h-k)$ that implies $p(h-k)=1$. Here $p$ and $h-k$ are distinct integers but 1 only has itself as a factor so this is a contradiction. Thus, for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ do not have a prime factor in common.

Example (3)

Prove by contradiction that the curves $ y=x^4+7x^2+5$ and $ y=x^2$ do not intersect each other. $ y=x^4+7x^2+5$ နှင့် $ y=x^2$ တစ်ခုနှင့် တစ်ခု မဖြတ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

သိရှိထားမည့် အချက်မှာ Curve နှစ်ခု တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဖြတ်လျှင် ညီမျှခြင်းနှစ်ခုကို တပြိုင်နက် ပြေလည်စေနိုင်သော $x$ တန်ဖိုး ရှိသည်။ ဆန့်ကျင် အဆိုပြုချက် $ y=x^4+7x^2+5$ နှင့် $ y=x^2$ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဖြတ်သည်ဟုယူဆ၍ ဖြတ်မှတ်ရှာမည်။ ဖြတ်မှတ်မရှိသောအခါ ယူဆချက်မှားယွင်းကြောင်း မူလအဆို မှန်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါသည်။

Solution $ C_1 :\quad y=x^4+7x^2+5$ $ C_2 :\quad y=x^4+7x^2+5$ Assume that $ C_1$ and $ C_2$ intersect each other. At the point of intersection, $ x^4+7x^2+5 = x^2$ $ x^4+6x^2+5 = 0$ $ \therefore \quad (x^2+5)(x^2+1)=0$ $ \therefore \quad x^2= -5 \ \text{or}\ x^2=-1$ There is no real solution for $x$ and our assumption is not true. Hence the curves $ y=x^4+7x^2+5$ and $ y=x^2$ do not intersect each other.

Example (4)

Use proof by contradiction to show that there exist no integers a and b for which $25a + 15b = 1$. ဆန့်ကျင် သက်သေပြနည်းကို သုံး၍ $25a + 15b = 1$ ကို‌ ပြေလည်စေသော ကိန်းပြည့်တန်ဖိုး $a$ နှင့် $b$ မရှိကြောင်း သက်သေပြပါ။

သိရှိထားရမည့် အချက်မှာ ကိန်းပြည့်များ၏ ပေါင်းလဒ်၊ နုတ်လဒ်နှင့် မြှောက်လဒ်တို့မှာ ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်သည်။

Solution Let us assume that there exist integers $a$ and $b$ for which $25a + 15b = 1$. Since $25a + 15b = 1$, dividing both sides with 5, $5a + 3b =\displaystyle \frac{1}{5}$. Since $a$ and $b$ are integers, both $5a$ and $3b$ are integers and their sum $5a + 3b$ must be integers. But $\displaystyle \frac{1}{5}$ is not integer and so this is contradiction. So, our assumption is false and the original statement is true. Therefore, there do not exist integers $a$ and $b$ for which $25a + 15b = 1$.

Exercises

1. Prove by contradiction that $\sqrt{3}$ is irrational.


2. Prove by contradiction that the sum of a rational number and an irrational number is irrational.


3. Prove by contradiction that there are infinitely many prime numbers.


4. Prove, by contradiction that $\displaystyle\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b} \quad \forall\ a, b \in \mathbb{N}$.


5. Prove by contradiction that if $m^{2}=10$ then $m$ is not a rational number.