Polar Coordinate System - Part (1)

Definition

In mathematics, the polar coordinate system is a two-dimensional coordinate system in which each point on a plane is determined by a distance from a reference point and an angle from a reference direction.

• သတ်မှတ်ထားသော အမှတ်တစ်ခုမှ အကွာအဝေးအတိုင်းအတာနှင့်


• သတ်မှတ်ထားသော ဦးတည်ရာ တစ်ခုမှ ထောင့်ပမာဏ အတိုင်းအတာ

စသည့်အတိုင်းအတာ နှစ်ခုဖြင့် အမှတ်တစ်ခု၏ တည်နေရာကို ဖော်ပြသော စနစ်အား polar coordinate system ဟုခေါ်သည်။

ဤနေရာတွင် Rectangular coordinate system (Cartesian Coordinate System) တွင် သိရှိခဲ့ပြီးဖြစ်သည့် အမှတ်တစ်ခု၏ တည်နေရာသတ်မှတ်ပုံကို ပြန်လည်ဆွေးနွေးပါမည်။ Cartesian Coordinate System တွင် အမှတ်တစ်ခု၏ တည်နေရာကို ordered pair $(x,y)$ ဖြင့်ဖေါ်ပြကြောင်း သိရှိခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ $x$ ဆိုသည်မှာ origin မှ $x$ ဝင်ရိုးတလျှောက် အကွားအဝေးဖြစ်ပြီး $x$-coordinate ဟု သတ်မှတ်သည်။ $y$ ဆိုသည်မှာ origin မှ $y$ ဝင်ရိုးတလျှောက် အကွားအဝေးဖြစ်ပြီး $y$-coordinate ဟု သတ်မှတ်သည်။

Fig 1: A point in cartesian coordinate system

Polar coordinate system တွင် အဆိုပါအမှတ် P ၏ တည်နေရာကို origin (pole) မှ မျဉ်းဖြောင့်အကွားအဝေး ($r$ ဟုသတ်မှတ်သည်)နှင့် positive $x$-axis မှ နာရီလက်တံပြောင်းပြန် အတိုင်း(anticlockwise direction)တိုင်းတာသော ထောင့်ပမာဏ ($\theta$) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ထို့ကြောင့် Polar coordinate system တွင် အမှတ်တစ်ခု၏ တည်နေရာကို $P(r, \theta)$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ Polar coordinate system တွင် origin (pole) reference point ဟုခေါ်ပြီး $\theta$ ကို reference angle ဟုခေါ်သည်။ reference angle ကို radian ဖြင့်သာ ဖော်ပြရမည်။

Fig 2: A point in polar coordinate system

Polar coordinate system တွင် $r$ သည် postive number သာ ဖြစ်ရမည်ဟု ထင်မှတ်နိုင်သည်။ သို့သော် အနုတ်တန်ဖိုး $r$ အတွက်လည်း နေရာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အောက်ပါ ဥပမာ ပုံများကို လေ့လာကြည့်ပါ။

Fig 3: Points in polar coordinate system for $r>0$ and $r<0$

ထောင့်ပမာဏ ပြောင်းလဲခြင်းမရှိပဲ $r$ ၏ လက္ခဏာသာ ပြောင်းလဲလျှင် အမှတ်၏တည်နေရာသည် pole မှ မူလအမှတ်၏ အကွာအဝေးအတိုင်း ဆန့်ကျင်ဘက် ဦးတည်ရာတွင် ရှိသည်ဟု မှတ်ယူရမည်။

ထောင့်တန်ဖိုးသည်လည်း အနုတ်ဂဏန်းဖြစ်နိုင်သည်။ ထောင့်တန်းဖိုး အနုတ်ဂဏန်း ဖြစ်ပါက သတ်မှတ်ပမာဏအတိုင်း နာရီလက်တံအတိုင်း လှည့်ခြင်း (clockwise direction) ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကွာအဝေး $(r)$ တစ်ခုအတွက် အနုတ်ထောင့်နှင့် အပေါင်းထောင့်ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်တို့၏ တည်နေရာကို အောက်ပါအတိုင်း သိရှိရမည်။

Fig 4: Location of $(r,\theta)$ and $(r,-\theta)$

ထို့ကြောင့် $r$ နှင့် $\theta$ တို့၏ လက္ခဏာကိုမူတည်၍ အမှတ်များ၏ တည်နေရာကို အောက်ပါအတိုင်း မှတ်ယူနိုင်ပါသည်။

Fig 5: Location of points in polar coordinate system in accordance with the signs of $r$ and $\theta$

Coterminal Angles

Coterminal angles are angles which when drawn at standard position (so their initial sides are on the positive x-axis) share the same terminal side.

initial side တူ၍ terminal side တစ်ခုတည်းကို မျှဝေသုံးဆွဲနေကြသော ထောင့်များကို coterminal angle ဟုခေါ်သည်။

Fig 6: Coterminal Angles

ဖော်ပြပါပုံတွင် ထောင့်တန်ဖိုးများ မတူညီသော်လည်း terminal side တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်နေသောကြောင့် $\displaystyle\frac{\pi}{4}$၊ $-\displaystyle\frac{7\pi}{4}$ နှင့် $\displaystyle\frac{9\pi}{4}$ တို့သည် coterminal angle များဖြစ်ကြသည်။

coterminal angle များသည် တည်နေရာ တစ်ခုတည်းကို ရည်ညွှန်းသည့်အတွက် polar coordinate system တွင် အမှတ်တစ်ခု၏ တည်နေရာကို ပုံစံအမျိုးမျိုးဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။

ထို့ကြောင့် $(3,\displaystyle\frac{\pi}{4})$, $(3,-\displaystyle\frac{7\pi}{4})$, $(3,\displaystyle\frac{9\pi}{4})$ တို့သည် အမှတ်တစ်ခုတည်းကိုသာ ကိုယ်စားပြုသည်။ အောက်ဖာ်ပြပါပုံကို ဆက်လက်လေ့လာကြည့်ပါ။

Fig 7: Uniqueness of polar coordinates

မူလအမှတ် $(r, \theta)$ ကို တစ်ပတ်ပြည့် $(360^{\circ} =2\pi\ \text{radians})$ အောင် လှည့်လိုက်လျှင် မူလနေရာပင် ပြန်ရောက်နေပေမည်။ ထို့ကြောင့် $(r, \theta)= (r, \theta + 2\pi)$ ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အလားတူပင် နှစ်ပတ်၊ သုံးပတ် စသဖြင့် လှည့်လိုက်လျှင်လည်း မူလနေရာပင် ပြန်ရောက်မည် ဖြစ်သည်။ ထို့သို့လှည့်ရာတွင် anticlockwise, clockwise မည်သည့် direction ဖြင့် လှည့်သည်ဖြစ်စေ ရောက်ရှိမည့် နေရာမှာ အတူတူပင် ဖြစ်သည်။

$\therefore (r, \theta)=(r, \theta\pm 2\pi)=(r, \theta\pm 4\pi)=...=(r, \theta\pm 2n\pi)$ where n is any integer.

ထို့ပြင် $(-r, \theta)$ ကို $\pi$ radian လှည့်လိုက်လျှင် $(r, \theta)$ နေရာသို့ ရောက်ရှိမည်။ တစ်ပတ်ခွဲ $3\pi$ radian လှည့်လိုက်လျှင်လည်း $(r, \theta)$ နေရာသို့ ရောက်ရှိမည်ဖြင့်သည်။ အလားတူ နှစ်ပတ်ခွဲ၊ သုံးပတ်ခွဲ စသဖြင့် လှည့်လိုက်လျှင်လည်း ထိုနေရာသို့ပင် ရောက်ရှိမည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်နည်းတူ anticlockwise, clockwise မည်သည့် direction ဖြင့် လှည့်သည်ဖြစ်စေ ရောက်ရှိမည့် နေရာမှာ အတူတူပင် ဖြစ်သည်။

$\therefore (r, \theta)=(-r, \theta\pm \pi)=(r, \theta\pm 3\pi)=...=(r, \theta\pm (2n+1)\pi)$ where n is any integer.

Relation between Cartesian and Polar Coordinates

Rectangular coordinate နှင့် polar coordinate တို့၏ အပြန်အလှန် ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက် လေ့လာကြည့်ပါမည်။

Fig 8: Rectangular and polar coordinates
Polar to Rectangular

Polar coordinate $(r, \theta)$ ပေးထားလျှင် rectangular coordinate $(x,y)$ သို့ အောက်ပါအတိုင်း ပြောင်းလဲနိုင်သည်။

$\begin{array}{l}\text{Since}\ \displaystyle\frac{y}{r}=\sin \theta ,\ y=r\sin \theta \\\\ \text{Similarly}\ \displaystyle\frac{x}{r}=\cos \theta ,\ x=r\cos \theta \end{array}$ Rectangular to Polar

Ractangular coordinate $(x,y)$ ပေးထားလျှင် polar coordinate $(r, \theta)$ သို့ အောက်ပါအတိုင်း ပြောင်းလဲနိုင်သည်။

$\begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}\\r=\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\tan \theta =\displaystyle\frac{y}{x}\\\\ \theta ={{\tan }^{{-1}}}\displaystyle\frac{y}{x}\end{array}$

Example (1)

Plot the point $P$ with polar coordinates $\left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)$, and find other polar coordinates $(r, \theta)$ of this same point for which:

(a) $r>0, \quad 2 \pi \leq \theta <4 \pi$

(b) $r<0, \quad 0 \leq \theta <2\pi$

(c) $r>0, \quad-2 \pi \leq \theta<0$

Solution

Given Point: $\left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)$

Plot of the point $\left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)$ (a) $r>0, \quad 2 \pi \leq \theta<4 \pi$

$\therefore \left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)= \left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi\right) =\left(3, \displaystyle\frac{13\pi}{6}\right)$

Plot of the point $\left(3, \displaystyle\frac{13\pi}{6}\right)$ (b) $r<0, \quad 0 \leq \theta <2 \pi$

$\therefore \left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)= \left(-3, \displaystyle\frac{\pi}{6}+\pi\right) =\left(-3, \displaystyle\frac{7\pi}{6}\right)$

Plot of the point $\left(-3, \displaystyle\frac{7\pi}{6}\right)$ (c) $r>0, \quad-2 \pi \leq \theta<0$

$\therefore \left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)= \left(3, \displaystyle\frac{\pi}{6}-2\pi\right) =\left(3, -\displaystyle\frac{11\pi}{6}\right)$

Plot of the point $\left(3, -\displaystyle\frac{11\pi}{6}\right)$ Example (2)

If $(r,\theta)=\left(4,\displaystyle\frac{7 \pi}{6}\right)$ are polar coordinates of a point $P$, find the rectangular coordinates of $P$.

Solution

$\begin{array}{l} \text{Given Point:}\ (r,\theta )=\left( {4,\displaystyle\frac{{7\pi }}{6}} \right)\\\\ \therefore r=4,\theta =\displaystyle\frac{{7\pi }}{6}\\\\\ \ x=r\cos \theta \\\\ \ \ \ \ \ =4\cos \displaystyle\frac{{7\pi }}{6}\ \\\\ \ \ \ \ \ =4\left( {-\displaystyle\frac{{\sqrt{3}}}{2}} \right)\\\\ \ \ \ \ =-2\sqrt{3}\\\\ \ \ y=r\sin \theta \\\\ \ \ \ \ \ =4\sin \displaystyle\frac{{7\pi }}{6}\\\\ \ \ \ \ \ =4\left( {-\displaystyle\frac{1}{2}} \right)\\\\ \ \ \ \ =-2 \end{array}$

The coordinates of the point $P$ in rectangular coordinate system is $\left( {-2\sqrt{3},-2} \right)$.

Example (3)

Change the rectangular coordinates to polar coordinates with $r>0$ and $0 \leq \theta \leq 2 \pi$

(a) $(2,2)$

(b) $(-3,3\sqrt{3})$

Solution

$ \begin{array}{l}\left( \text{a} \right)\ \ (2,2)\\\\\ \ \ \ \ \ r=\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\\\ \ \ \ \ \ r=\sqrt{{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}\\\\\ \ \ \ \ \ r=2\sqrt{2}\\\\\ \ \ \ \ \ \theta ={{\tan }^{{-1}}}\displaystyle\frac{y}{x}\\\\\ \ \ \ \ \ \theta ={{\tan }^{{-1}}}\displaystyle\frac{2}{2}\\\\\ \ \ \ \ \ \theta ={{\tan }^{{-1}}}(1)\\\\\ \ \ \ \ \ \theta =\displaystyle\frac{\pi }{4}\\\\\therefore \ \ \ (2,2)=(2\sqrt{2},\displaystyle\frac{\pi }{4})\\\\\left( \text{b} \right)\ \ (-3,3\sqrt{3})\\\\\ \ \ \ \ \ r=\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\\\ \ \ \ \ \ r=\sqrt{{{{{(-3)}}^{2}}+{{{(3\sqrt{3})}}^{2}}}}\\\\\ \ \ \ \ \ r=\sqrt{{36}}\\\\\ \ \ \ \ \ r=6\\\\\ \ \ \ \ \ \theta ={{\tan }^{{-1}}}\displaystyle\frac{y}{x}\\\\\ \ \ \ \ \ \theta ={{\tan }^{{-1}}}\displaystyle\frac{{3\sqrt{3}}}{{-3}}\\\\\ \ \ \ \ \ \theta ={{\tan }^{{-1}}}(-\sqrt{3})\\\\\ \ \ \ \ \ \theta =\displaystyle\frac{{5\pi }}{3}\ \\\\\therefore \ \ \ (-3,3\sqrt{3})=(6,\displaystyle\frac{{5\pi }}{3})\ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}$

Exercise

1. Which polar coordinates represent the same point as $(3, \pi / 3) ?$
   
   (a) $\left(3,\displaystyle\frac{7 \pi}{3}\right)$
   
   (b) $\left(3,-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)$
   
   (c) $\left(-3,\displaystyle\frac{4 \pi}{3}\right)$
   
   (d) $\left(3,-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)$
   
   (e) $\left(-3,-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)$
   
   (f) $\left(-3,-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)$


2. Which polar coordinates represent the same point as $(4,-\pi / 2) ?$
   
   (a) $\left(4,\displaystyle\frac{5 \pi}{2}\right)$
   
   (b) $\left(4,\displaystyle\frac{7 \pi}{2}\right)$
   
   (c) $\left(-4,-\displaystyle\frac{ \pi}{2}\right)$
   
   (d) $\left(4,-\displaystyle\frac{5 \pi}{2}\right)$
   
   (e) $\left(-4,-\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)$
   
   (f) $\left(-4, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$


3. Change the polar coordinates to rectangular coordinates.
   
   (a) $\left(3, \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$
   
   (b) $\left(-1,\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)$
   
   (c) $\left(5,\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)$
   
   (d) $\left(-6,\displaystyle\frac{7\pi}{3}\right)$
   
   (e) $\left(8,-\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)$
   
   (f) $\left(-3,\displaystyle\frac{5\pi}{3}\right)$
   
   (g) $\left(4,-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$
   
   (h) $\left(-2,\displaystyle\frac{7\pi}{6}\right)$


4. Change the rectangular coordinates to polar coordinates with $r>0$ and $0 \leq \theta \leq 2 \pi$
   
   (a) $(-1,1)$
   
   (b) $(-2 \sqrt{3},-2)$
   
   (c) $(3 \sqrt{3}, 3)$
   
   (d) $(2,-2)$
   
   (e) $(7,-7 \sqrt{3})$
   
   (f) $(5,5)$
   
   (g) $(-2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})$
   
   (h) $(-4,4 \sqrt{3})$