10.2 Application to Elementry Geometry

ဒီအပိုင္းကေတာ့ အတန္းငယ္ေတြမွာ သင္ၾကားခဲ့ၿပီးျဖစ္တဲ့ geometrical ဆိုင္ရာ မွန္ကန္ခ်က္မ်ားကို vector theorem မ်ားကို applied လုပ္ၿပီး မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပျခင္းပဲ ျဖစ္ပါတယ္။

vector theorem မ်ားကို ဘယ္ေလာက္ နားလည္ႏိုင္စြမ္း႐ွိၿပီလည္း ျပန္လည္ၿပီး applied လုပ္တတ္ရဲ့လား ဆိုတာကို ဆန္းစစ္တဲ့ problems မ်ားပါ၀င္ပါတယ္။ Section (1) မွာပါ၀င္တဲ့ Definition 1 to 7, Theorem-1 နဲ႔ Corollary 1.1 တို႔ကို ေသေသခ်ာခ်ာ နားလည္သေဘာေပါက္ၿပီဆိုရင္ အလြယ္တကူ ေျဖ႐ွင္းႏိုင္မွာပါ။
ဒါေပမယ့္ အတန္းငယ္ေတြမွာ သင္ၾကားခဲ့ၿပီးျဖစ္တဲ့ polygons ( triangles, quadrilaterals, etc. ) ေတြရဲ့ properties ေတြကို သိ႐ွိနားလည္ထားရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါဆိုရင္ ဒီ section မွာပါ၀င္တဲ့ problems ေတြကို ေျဖ႐ွင္းဖို႔ လြယ္ကူသြားပါၿပီ။ အစြမ္းကုန္ ႀကိဳးစားၾကပါလို႔ မွာခ်င္ပါတယ္။

Download Here

Chapter 10 Introduction to Vectors and Transformation Geometry

ပထမဆံုးအေနနဲ႔ Maths portion ကို တင္ေပးလိုက္ပါတယ္။

Chapter (10) - Introduction to Vectors and Transformation Geometry

ကၽြန္ေတာ္တို႔ ေန႔စဥ္ႀကံဳေတြ႕ ရတဲ့ physical quantity ေတြမွာ scalar quantity နဲ႔ vector quantity ရယ္ဆိုၿပီး ႏွစ္မ်ိဳး႐ွိပါတယ္။


Scalar quantity ေတြမွာက အတိုင္းအတာ (magnitude) သာ႐ွိပါတယ္။ Vector quantity ေတြမွာေတာ့ အတိုင္းအတာနဲ႔ ဦးတည္ရာ (magnitude and direction) ရယ္ဆိုၿပီးႏွစ္မ်ိဳး႐ွိပါတယ္။

A scalar is a simple physical quantity that is not changed by coordinate system rotations or translations(defined by Wikipedia)
Examples of scalar quantities
* electric charge and charge density
* mass and mass density
* speed, but not velocity or momentum
* temperature
* energy and energy density
* time
* pressure
* entropy
* negentropy

In elementary mathematics, physics, and engineering, a vector (sometimes called a geometric or spatial vector) is a geometric object that has both a magnitude (or length), direction and sense that is orientation along the given direction. A vector is frequently represented by a line segment with a definite direction, or graphically as an arrow, connecting an initial point A with a terminal point B, and denoted by


အတိုင္းအတာဆိုတာက အလြယ္တကူ သိသာထင္႐ွားစြာ ေတြ႕ျမင္ႏိုင္ပါတယ္။ သို႔ေသာ္ အခ်ိဳ႕ေသာ quantity ေတြမွာ အတိုင္းအတာပမာဏ (magnitude) ေျပာင္းလဲျခင္းမ႐ွိေသာ္လည္း ဦးတည္ရာေျပာင္းလည္း မႈေၾကာင့္ ရလဒ္ေတြ ေျပာင္းလဲပါတယ္။

အဲဒါေတြကေတာ့ vector quantity ေတြပဲျဖစ္ပါတယ္။ vector quantity ေတြကို resolve လုပ္ဖို႔ geometry ကိုအသံုးခ် ေျဖ႐ွင္းႏိုင္ပါတယ္။

ဒီအခန္းကေတာ့ vector ရဲ့ base concept and theory ကို စတင္မိတ္ဆက္ေပးျခင္းသာ ျဖစ္ပါတယ္။ လက္ေတြ႕ အသံုးခ်ေျဖ႐ွင္းနည္းမ်ားကိုေတာ့ တကၠသိုလ္္တန္း မ်ားမွာဆက္လက္သင္ၾကားမွာျဖစ္ပါတယ္။

ေက်ာင္းသား/သူ အေတာ္မ်ားမ်ား ဒီအခန္းကို ပယ္ပစ္တတ္ၾကပါတယ္။ သိပၸံဘာသာတြဲမ်ားကို တကၠသိုလ္မွာ ဆက္လက္ ေလ့လာသင္ယူဖို႔ ရည္႐ြယ္ထားရင္ (သင္ခၤ်ာ ဘာသာရပ္ႏွင့္ မကင္းကြာသေ႐ြ႕) ဒီအခန္းကို အထူးသိ႐ွိနားလည္ထားဖို႔ လိုအပ္ပါေၾကာင္း အႀကံျပဳပါရေစ။

ပထမဦးဆံုးအေနနဲ႔ Section (10.1) Geometric vectors ရဲ့ နားလည္ထားရမယ့္ definition မ်ားနဲ႔ ႐ွင္းလင္းခ်က္မ်ား၊ ပုုစၧာအခ်ိဳ႔႕ ႏွင့္ ေျဖ႐ွင္းပံုမ်ား (Problems and Answers) မ်ားကို တင္ျပေပးလိုက္ပါတယ္။

က်န္႐ွိေနတဲ့ section လည္းဆက္လက္ တင္ေပးသြားပါ့မယ္။ ေက်ာင္းသားသူမ်ားအားလံု ထူးခၽြန္ထက္ျမက္စြာ ဘ၀ပန္းတိုင္အဆင့္ဆင့္ကို ေက်ာ္လြန္ ျဖတ္သန္းႏိုင္ပါေစ။

Chappter-10(Section-1) DOWNLOAD
Chappter-10(Section-1_Problems and Answers) DOWNLOAD

Grapher Software

ဒီ software ေလးက သခၤ်ာဆရာေတြအတြက္ အသံုး၀င္မယ္ထင္ပါတယ္။ Algebraic function ေတြရိုက္ထည့္ၿပီး graph ထုတ္ေပးတာပါ။ features ေလးကအရမ္းရွင္းပါတယ္။ full version ျဖစ္တဲ့အတြက္ activation လုပ္ဖို႔လည္းမလိုပါဘူး။

function ရိုက္ထည့္ဖို႔အတြက္ function menu>insert function ေပါ့။


Function အမ်ိဳးအစား သံုမ်ိဳးအတြက္ သံုးလို႔ရပါတယ္။ Standard Function y=f(x), Parametric Function x(t),y(t) နဲ႔ polar function r(t)ဆိုၿပီး သံုးမ်ိဳးပါရွိပါတယ္။

အခု Standard Function တစ္ခုကို တင္ျပပါမယ္။ f(x)=X²-4x-2 ဆိုပါဆို႔။f(x)ဆိုတဲ့ အကြက္ထဲမွာ

x^2-4x-2

လို႔ရိုက္ထည့္ရပါမယ္။ Line style, Draw type,Color, Width တို႔မွာ ကိုယ္လိုခ်င္တဲ့ပမာဏေတြ ေပၿပီးရင္ OK ေပါ့။ အခုကြၽန္ေတာ္ကေတာ့ default setting အတိုင္းပဲထားၿပီး OK လိုက္ပါတယ္။ အခုေဖၚျပထာတဲ့အတိုင္း graph ကိုရရွိပါတယ္။

software ရဲ့ အျခားလုပ္ေဆာင္ႏိုင္တဲ့ function မ်ားကိုလည္း အလ်ဥ္းသင့္သလို ဆက္လက္ေဖၚျပပါဦးမယ္။

ဒီေနရာမွာ ရယူႏိုင္ပါတယ္