Principle of Mathematical Induction

Mathematical Induction ကို domino effect ဖြင့် တင်စားဖော်ပြလေ့ရှိသည်။အောက်ပါ ပုံကိုလေ့လာကြည့်ပါ။



ပထမ domino လဲမကျလျှင် ၎င်းနောက်မှ စီထားသော domino များလဲကျမည်မဟုတ်ပါ။ ပထမ domino လဲကျသည်။ ထို့နောက် စီထားသော domino ထဲမှ ကြိုက်ရာတစ်ခုလဲကျသည်ဟု ယူဆပြီး၊ ၎င်းနောက်ရှိ ကပ်လျက်ရှိ‌သော domino လဲကျကြောင်း သက်သေပြနိုင်လျှင် မည်သည့် domino မဆို လဲကျသည်ဟု သက်သေပြနိုင်ပါသည်။ ဤသည်မှာ Mathematical Induction ဆိုင်ရာ သက်သေပြမှုတွင် အသုံးပြုသော အယူအဆဖြစ်သည်။

Mathematical Induction သည် အပေါင်းကိန်းပြည့် ဆိုင်ရာ အဆိုများ မှန်ကန်ချက်များကို သက်သေပြရာတွင် များစွာ အသုံးဝင်သည်။

Mathematical Induction ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြရာတွင် အဓိက အဆင့်နှစ်ဆင့်ဖြင့် သက်သေပြရမည်။

• Step (1) - ပေးထားသော အဆိုပြုချက်တစ်ခုအတွက် ပထမဆုံးအကြိမ် [ယျေဘုယျအားဖြင့် (n=1)] အတွက် မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။
• Step (2) - ထိုအဆိုသည် အခြား မည့်သည့် $k$ အကြိမ်အတွက်မဆို မှန်ကန်သည်ဟု သတ်မှတ်လိုက်ပြီး ၎င်းနောက်ရှိ ကပ်လျက်ရှိ‌သော $k+1$ အကြိမ်အတွက် မှန်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်လျှင် ပေးထားသော အဆိုသည် အမြဲမှန်ကန်သည်။

Principle of Mathematical Induction

Mathematical Induction is a mathematical technique which is used to prove a statement, a formula or a theorem is true for every natural number. The technique involves two steps to prove a statement, as stated below −

Step 1 (Base step) − It proves that a statement is true for the initial value.

Step 2 (Inductive step) − It proves that if the statement is true for the $k^{\text{th}}$ iteration (or number $k$), then it is also true for $(k+1)^{\text{th}}$ iteration ( or number $k+1$).

Terminology of Statements

• Definition: an explanation of the mathematical meaning of a word.
စကားလုံးတစ်လုံး၏ သင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကို Definition ဟုခေါ်သည်။


• Axiom: a basic assumption about a mathematical situation (model) which requires no proof.
သက်သေပြရန်မလိုအပ်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ ယူဆချက်ကို Axiom ဟုခေါ်သည်။


• Theorem: a very important true statement that is provable in terms of definitions and axioms.
Definition , Axiom တို့ကို အသုံးပြု၍ အမြဲမှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သော အရေးပါသည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုပြုချက် ဖြစ်သည်။


• Proposition: a statement of fact that is true and interesting in a given context.
ပေးထားသော အကြောင်းအရာသည် အမြဲမှန်ကန်သည်ဟု ဆိုနိုင်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုပြုချက် ဖြစ်သည်။


• Lemma: a true statement used in proving other true statements.
အခြားအဆိုပြုချက်တစ်ခု မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြရန် ကိုးကားအသုံးပြုသည့် အမြဲမှန်သော အကြောင်းအရာ ဖြစ်သည်။


• Corollary: a true statement that is a simple deduction from a theorem or proposition.
Theorem နှင့် Proporsition တို့မှ ဆင်းသက်လာသည့် ဆင့်ပွားမှန်ကန်ချက် ဖြစ်သည်။


• Proof: the explanation of why a statement is true.
အကြောင်းအရာတစ်ခု မှန်ကန်ကြောင်း ရှင်းပြချက်ကို သက်သေပြချက်ဟု ခေါ်သည်။


• Conjecture: a statement believed to be true, but for which we have no proof.
သက်သေပြခြင်း မရှိပဲ မှန်ကန်သည်ဟု ယုံကြည်ထားသော အဆိုတစ်ခုကို Conjecture ဟုခေါ်သည်။

Evaluation Steps (Steps of Proof)

• Step 1: Let $P(n)$ be a result or statement formulated in terms of $n$ (given question).


• Step 2: Prove that $P(1)$ or $P(\text{initial value})$ is true.


• Step 3: Assume that $P(k)$ is true.


• Step 4: Using Step 3 , prove that $P(k+1)$ is true.


• Step 5: Thus $P(1)$ is true and $P(k+1)$ is true whenever $P(k)$ is true.


• Conclusion: Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all natural numbers $n$.

Example (1)

Use mathematical induction to prove that $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2$ is true for every positive integer $n$.

Solution

Let $P(n) : 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2$.

When $n=1$,

LHS $= 1$

RHS $= 1^2 = 1$

$\therefore\ P(1)$ is true.

Assume that $P(k)$ is true for $n=k$.

$\therefore\ P(k) : 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) = k^2 $

When $n=k+1$,

$ \quad 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1)+ \left[2(k+1) - 1\right] $

$ = k^2 + (2k + 2 - 1) $

$ = k^2 + 2k + 1 $

$ = (k+1)^2 $

$\therefore\ P(k + 1 )$ is true.

Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all natural numbers $n$.

Example (2)

Use mathematical induction to prove that $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ is true for every $n\in\mathbb{N}$.

Solution

Let $P(n) : 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

When $n=1$,

LHS $= 1$

RHS $= \dfrac{1(1+1)}{2} = 1$

$\therefore\ P(1)$ is true.

Assume that $P(k)$ is true for $n=k$.

$\therefore\ P(k) : 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$

When $n=k+1$,

$\quad 1 + 2 + 3 + \ldots + k+ (k+1) $

$ = \dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) $

$ = \dfrac{k^2+3k+2}{2} $

$ = \dfrac{k^2+2k+1+ k + 1}{2} $

$ = \dfrac{(k+1)^2+(k + 1)}{2} $

$ = \dfrac{(k + 1) \left[(k+1) + 1\right]}{2} $

$ \therefore\ P(k + 1 )$ is true.

Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all positive integers $n$.

Example (3)

Prove that for any positive integer number $n$ , $n^3 + 2 n$ is divisible by $3$ by using mathematical induction.

Solution

Let $P(n) :n^3 + 2 n$ is divisible by $3$

When $n=1$,

$1^3+2(1) = 3$

Since $3$ is divisible by $3$, $P(1)$ is true.

When $n=k,\ P(k) :k^3 + 2 k$ is divisible by $3$.

Assume that $P(k)$ is true.

Let $k^3 + 2 k = 3p$ where $p$ is a positive integer.

When $n=k+1$,

$\quad (k + 1)^3 + 2 (k + 1) $

$ = k^3+3k^2+3k+1+2k+2 $

$ = (k^3+2k)+3k^2+3k+3$

$ = 3p+3(k^2+k+1)$

$ = 3(p+k^2+k+1)$

Since $p$ and $k$ are positive integers, $3(p+k^2+k+1)$ is an integer which is a multiple of $3$.

Therefore, $3(p+k^2+k+1)$ is divisible by $3$.

$\therefore\ P(k + 1 )$ is true.

Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all positive integers $n$.

Example (4)

Prove that $n ! > 2 n$ where n is a positive integer and $n\ge 4$.

Solution

Let $P(n) :n ! > 2 n$

When $n=4$,

$4! = 4\times3\times2\times1=24$

$2(4) = 8$

$\therefore\ 24 > 8\Rightarrow 4!>2(4)$ $\therefore\ P(4)$ is true.

Assume that $P(k)$ is true for $n=k$ where $k>4$.

$\therefore\ P(k) :k! > 2k$.

When $n=k+1$,

$(k+1)!= (k+1)k! $

Since $k>4,\ k!> 2$.

$ \therefore\ (k+1)k! > 2(k+1) $

$ \therefore\ (k+1)! > 2(k+1) $

$\therefore\ P(k + 1 )$ is true.

Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all positive integers $n$.

Example (5)

For every positive integer $n$, prove that $7^n – 3^n$ is divisible by $4$.

Solution

Let $P(n) :7^n – 3^n$ is divisible by $4$.

When $n=1$,

$7^1 – 3^1=7-3 = 4$

Since $4$ is divisible by $4$, $P(1)$ is true.

When $n=k,\ P(k) :7^k – 3^k$ is divisible by $4$.

Assume that $P(k)$ is true.

Let $7^k – 3^k = 4p$ where $p$ is a positive integer. When $n=k+1$,

$\quad 7^{k+1} – 3^{k+1} $

$ = 7\times7^k – 3\times3^k $

$ = 7\times7^k -(7\times3^k) +(7\times3^k) – (3\times3^k) $

$ = 7(7^k -3^k) +3^k(7 – 3) $

$ = 7(4p) +4\times3^k$

$ = 4 (7p +3^k)$

Since $p$ and $k$ are positive integers, $4 (7p +3^k)$ is an integer which is a multiple of $7$.

Therefore, $4 (7p +3^k)$ is divisible by $7$.

$\therefore\ P(k + 1 )$ is true.

Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all positive integers $n$.

Example (6)

Using mathematical induction, show that $9^{n}-8 n-1$ where $n \in\mathbb{N}$ is divisible by $64$.

Solution

Let $P(n) :9^{n}-8 n-1$ where $n \in\mathbb{N}$ is divisible by $64$.

When $n=1$,

$9^{1}-8 (1)-1 = 0$

Since $0$ is divisible by $64$, $P(1)$ is true.

When $n=k,\ P(k) :9^{k}-8 k-1$ is divisible by $64$.

Assume that $P(k)$ is true.

Let $9^{k}-8 k-1 = 64p$ where $p$ is a positive integer.

When $n=k+1$,

$\quad 9^{k+1}-8 (k+1)-1$

$ = 9\times 9^{k}-8k-9 $

$ = 9\times 9^{k}-(9\times 8k)+ (9\times 8k) -8k-9 $

$ = 9\times 9^{k}-(9\times 8k)-9 + (9\times 8k) -8k$

$ = 9(9^{k}-8k-1) + 64k$

$ = 9(64p) + 64k$

$ = 64 (9p +k)$

Since $p$ and $k$ are positive integers, $64 (9p +k)$ is an integer which is a multiple of $64$.

Therefore, $64 (9p +k)$ is divisible by $64$.

$\therefore\ P(k + 1 )$ is true.

Hence, by the Principle of Mathematical Induction, $P(n)$ is true for all positive integers $n$.

Exercises Prove the following by using the principle of mathematical induction for all $n\in\mathbb{N}$: $1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\dfrac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$. $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$. $1+\dfrac{1}{(1+2)}+\dfrac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\dfrac{1}{(1+2+3+\ldots n)}=\dfrac{2n}{n+1}$ $1\cdot2 \cdot3+2\cdot3 \cdot4+\ldots+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$. $1\cdot3+2\cdot3^{2}+3\cdot3^{3}+\ldots+n \cdot3^{n}=\dfrac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$. $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n \cdot(n+1)=\left[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]$. $1\cdot3+3\cdot5+5\cdot7+\ldots+(2 n-1)(2 n+1)=\dfrac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}$. $1\cdot2+2\cdot2^{2}+3\cdot2^{3}+\ldots+n \cdot 2^{n}=(n-1) 2^{n+1}+2$. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}=1-\dfrac{1}{2^{n}}$. $\dfrac{1}{2\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot8}+\dfrac{1}{8\cdot11}+\ldots+\dfrac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\dfrac{n}{(6 n+4)}$ $\dfrac{1}{1\cdot2 \cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3 \cdot4}+\dfrac{1}{3\cdot4 \cdot5}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$. $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$. $\left(1+\dfrac{3}{1}\right)\left(1+\dfrac{5}{4}\right)\left(1+\dfrac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\dfrac{(2 n+1)}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$. $\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right) \ldots\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=(n+1)$. $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\dfrac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}$. $\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+\dfrac{1}{7\cdot10}+\ldots+\dfrac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\dfrac{n}{(3 n+1)}$. $\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot7}+\dfrac{1}{7\cdot9}+\ldots+\dfrac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\dfrac{n}{3(2 n+3)}$. $1+2+3+\ldots+n<\dfrac{1}{8}(2 n+1)^{2}$. $n(n+1)(n+5)$ is a multiple of $3$ . $10^{2 n-1}+1$ is divisible by $11$ . $x^{2 n}-y^{2 n}$ is divisible by $x+y$. $3^{2 n+2}-8 n-9$ is divisible by $8$ . $41^{n}-14^{n}$ is a multiple of $27$ . $(2 n+7)< (n+3)^{2}$.

Miscellaneous Exercise : Proofs of Trigonometric Identities

1. Prove that $\dfrac{\tan \theta+\cot \theta}{\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta}=\dfrac{1}{\sin \theta+\cos \theta}$





$\begin{aligned} &\dfrac{\tan \theta+\cot \theta}{\sec \theta+\csc \theta}\\\\ = &\dfrac{\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\dfrac{1}{\cos \theta}+\dfrac{1}{\sin \theta}}\\\\ = &\dfrac{\dfrac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}}{\dfrac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}}\\\\ = &\dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta} \times \dfrac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta}\\\\ = &\dfrac{1}{\sin \theta+ \cos \theta} \end{aligned}$



2. Prove that $\quad \sec x \csc x-\cot x=\tan x$.





$\begin{aligned} & \sec x \csc x-\cot x \\\\ = & \dfrac{1}{\cos x} \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{\cos x}{\sin x} \\\\ = & \dfrac{1-\cos ^{2} x}{\sin x \cos x} \\\\ = & \dfrac{\sin ^{2} x}{\sin x \cos x} \\\\ = & \dfrac{\sin x}{\cos x} \\\\ = & \tan x \end{aligned}$



3. Prove that $\dfrac{1}{1-\cos x}+\dfrac{1}{1+\cos x}=2 \csc^{2} x$





$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1-\cos x}+\dfrac{1}{1+\cos x} \\\\ = & \dfrac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)} \\\\ = & \dfrac{2}{1-\cos ^{2} x} \\\\ = & \dfrac{2}{\sin ^{2} x} \\\\ = & 2 \csc ^{2} x \end{aligned}$



4. Show that $\dfrac{\tan \theta+\cot \theta}{\csc \theta}=\sec \theta$





$\begin{aligned} &\dfrac{\tan \theta+\cot \theta}{\csc \theta}\\\\ = &\dfrac{\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\dfrac{1}{\sin \theta}}\\\\ = &\dfrac{\dfrac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}}{\dfrac{1}{\sin \theta}}\\\\ = &\dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta} \times \sin \theta \\\\ = &\sec \theta \end{aligned}$



5. Show that $\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}+\sqrt{\csc^{2} \theta-1}=\sec \theta \csc \theta$





$\begin{aligned} & \sqrt{\sec ^{2} \theta-1}+\sqrt{\csc ^{2} \theta-1} \\\\ =& \sqrt{\tan ^{2} \theta}+\sqrt{\cot ^{2} \theta} \\\\ =& \tan \theta+\cot \theta \\\\ =& \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \\\\ =& \dfrac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta} \\\\ =& \dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta} \\\\ =& \sec \theta \csc \theta \end{aligned}$



6. Prove that $\sec ^{2} x+\csc^{2} x=\sec ^{2} x \csc^{2} x$





$\begin{aligned} & \sec ^{2} x+\csc ^{2} x \\\\ =& \dfrac{1}{\cos ^{2} x}+\dfrac{1}{\sin ^{2} x} \\\\ =& \dfrac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} \\\\ =& \dfrac{1}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} \\\\ =& \dfrac{1}{\cos ^{2} x} \cdot \dfrac{1}{\sin ^{2} x}\\\\ =&\sec ^{2} x \csc ^{2} x \end{aligned}$



7. Show that $\dfrac{1}{\csc \theta-1}-\dfrac{1}{\csc \theta+1}=2 \tan ^{2} \theta$





$\begin{aligned} & \dfrac{1}{\csc \theta-1}-\dfrac{1}{\csc \theta+1} \\\\ =& \dfrac{(\csc \theta+1)-(\csc \theta-1)}{(\csc \theta-1)(\csc \theta+1)} \\\\ =& \dfrac{2}{\csc ^{2} \theta-1} \\\\ =& \dfrac{2}{\cot ^{2} \theta} \\\\ =& 2 \tan ^{2} \theta \end{aligned}$



8. Show that $\dfrac{\csc \theta}{\csc \theta-\sin \theta}=\sec ^{2} \theta$.





$\begin{aligned} &\dfrac{\csc \theta}{\csc \theta-\sin \theta} \\\\ =& \dfrac{\dfrac{1}{\sin \theta}}{\dfrac{1}{\sin \theta}-\sin \theta} \\\\ =& \dfrac{1}{\sin \theta} \times \dfrac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta}\\\\ =&\sec ^{2} \theta \end{aligned}$



9. Prove that $\dfrac{\cos x}{1+\tan x}-\dfrac{\sin x}{1+\cot x}=\cos x-\sin x$.





$\begin{aligned} &\dfrac{\cos x}{1+\tan x}-\dfrac{\sin x}{1+\cot x} \\\\ =&\dfrac{\cos x}{1+\dfrac{\sin x}{\cos x}}-\dfrac{\sin x}{1+\dfrac{\cos x}{\sin x}} \\\\ =&\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x}-\dfrac{\sin x}{\dfrac{\sin x+\cos u}{\sin x}}\\\\ =&\cos x\left(\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\right)-\sin x\left(\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\right)\\\\ =&\dfrac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos x+\sin x}\\\\ =&\dfrac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}\\\\ =&\cos x-\sin x \end{aligned}$



10. Show that $\csc \theta-\sin \theta=\cot \theta \cos \theta$.





$\begin{aligned} & \csc \theta-\sin \theta \\\\ =& \dfrac{1}{\sin \theta}-\sin \theta \\\\ =& \dfrac{1-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta} \\\\ =& \dfrac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta} \\\\ =& \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \cos \theta \\\\ =& \cot \theta \cos \theta \end{aligned}$



11. Show that $\dfrac{\tan ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\cos \theta+\sec \theta}=\tan \theta \sin \theta$.





$\begin{aligned} & \dfrac{\tan ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\cos \theta+\sec \theta} \\\\ =& \dfrac{\dfrac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}+\sin ^{2} \theta}{\cos \theta+\dfrac{1}{\cos \theta}} \\\\ =& \dfrac{\sin ^{2} \theta\left(1+\cos ^{2} \theta\right)}{\cos ^{2} \theta} \times \dfrac{\cos \theta}{\cos ^{2} \theta+T}\\\\ =&\dfrac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta} \\\\ =&\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \sin \theta \\\\ =&\tan \theta \sin \theta \end{aligned}$



12. Prove that $\sin x(\cot x+\tan x)=\sec x$





$\begin{aligned} & \sin x(\cot x+\tan x) \\ =& \sin x\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}\right) \\\\ =& \sin x\left(\dfrac{\cos 2 x+\sin ^{2} x}{\sin x \cos x}\right) \\\\ =& \dfrac{1}{\cos x} \\\\ =& \sec x \end{aligned}$



13. Show that $\dfrac{\sec \theta}{\cot \theta+\tan \theta}=\sin \theta$.





$\begin{aligned} &\dfrac{\sec \theta}{\cot \theta+\tan \theta}\\\\ =&\dfrac{\dfrac{1}{\cos \theta}}{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}+\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}\\\\ =&\dfrac{\dfrac{1}{\cos \theta}}{\dfrac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}}\\\\ =&\dfrac{1}{\cos \theta} \times \dfrac{\sin \theta \cos \theta}{1}\\\\ =&\sin \theta \end{aligned}$



14. Show that $\dfrac{\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=2 \csc x$.





$\begin{aligned} & \dfrac{\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x} \\\\ =& \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \times \dfrac{1-\cos x}{1-\cos x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x} \\\\ =& \dfrac{\sin x(1-\cos x)}{1-\cos ^{2} x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x} \\\\ =& \dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\sin ^{2} x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\\\\ =&\dfrac{1-\cos x}{\sin x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x} \\\\ =&\dfrac{1-\cos x+1+\cos x}{\sin x} \\\\ =&\dfrac{2}{\sin x} \\\\ =&2 \csc x \end{aligned}$



15. Show that $\dfrac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{\sin A \cos A}=\cot A$.





$\begin{aligned} & \dfrac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{\sin A \cos A} \\\\ =& \dfrac{1-\sin ^{2} A}{\sin A \cos A} \\\\ =& \dfrac{\cos ^{2} A}{\sin A \cos A} \\\\ =& \dfrac{\cos A}{\sin A}\\\\ =&\cot A \end{aligned}$



16. Show that $\cos \theta \cot \theta+\sin \theta=\csc \theta$.





$\begin{aligned} & \cos \theta \cot \theta+\sin \theta \\\\ =& \cos \theta \cdot \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}+\sin \theta \\\\ =& \dfrac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta}+\sin \theta \\\\ =& \dfrac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta} \\\\ =& \dfrac{1}{\sin \theta} \\\\ =& \csc \theta \end{aligned}$



17. Show that $2 \cos x \cot x+1=\cot x+2 \cos x$ can be written in the form $(a \cos x-b)(\cos x-\sin x)=0$, where $a$ and $b$ are constants to be found.





$\begin{aligned} &\quad 2 \cos x \cot x+1=\cot x+2 \cos x \\\\ &\quad 2 \cos x \dfrac{\cos x}{\sin x}+1=\dfrac{\cos x}{\sin x}+2 \cos x \\\\ &\quad \text { Multiplying both sides with}\ \sin x, \\\\ &\quad 2 \cos ^{2} x+\sin x=\cos x+2 \sin x \cos x \\\\ &\quad 2 \cos ^{2} x-\cos x+\sin x-2 \sin x \cos x=0 \\\\ &\quad\cos x(2 \cos x-1)+\sin x(1-2 \cos x)=0\\\\ &\quad\cos x(2 \cos x-1)-\sin x(2 \cos x-1)=0 \\\\ &\quad(2 \cos x-1)(\cos x-\sin x)=0 \\\\ &\therefore(a \cos x-b)(\cos x-\sin x)=(2 \cos x-1)(\cos x-\sin x) \\\\ &\therefore a=2\quad \text { and }\quad b=1 \end{aligned}$

Proof by Contradiction

စစ်ကိုမုန်း၍ တိုက်ခဲ့သည်

Introduction

Contradict = ဆန့်ကျင်သည်၊

Contradiction = ဆန့်ကျင်ခြင်း

Proof by Contradiction = ဆန့်ကျင်သက်သေပြခြင်း

Proof by Contradiction သည် A Level Mathematics တွင် မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းဖြစ်သည်။

အလွယ်ပြောရလျှင် မူလအဆိုပြုချက်ကို ဆန့်ကျင်ဘက် ယူဆပြီး၊ ယူဆချက်မှားကြောင်း သက်သေပြခြင်းဖြင့် မူလအဆို မှန်ကြောင်း ထောက်ခံခြင်းကို Proof by Contradiction ဟု ခေါ်ပါသည်။

တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ပတ်သက်ခြင်းမရှိသော ဖြစ်ရပ်များ (mutually exclusive events) များတွင် မှန်သော အကြောင်းအခြင်း အရာများသည် မည်သည့်အခါမျှ မမှားသကဲ့သို့ မှားသော အကြောင်းအခြင်းအရာများသည် မည်သည့်အခါမျှ မမှန်ပေ။ အဆိုပါ အယူအဆကိုလက်ကိုင်ပြု၍ Proof by Contradiction ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းလေ့ရှိသည်။

Examples

• စုံကိန်းများသည် 2 ၏ ဆတိုးကိန်းများ ဖြစ်သည်။


• မကိန်းများသည် 2 ဖြင့် စား၍ မပြတ်ပါ။


• Rational ကိန်းမှန်သမျှသည် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။


• Irrational ကိန်းများသည် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် မဖော်ပြနိုင်ပါ။

စသည်တို့သည် အမြဲမှန်သော မှန်ကန်ချက်များ ဖြစ်သည်။

မှန်သောအကြောင်းအရာကိုသာ မှန်ကြောင်းသက်သေပြနိုင်သည်။ တြိဂံသည် တြိဂံဖြစ်သောကြောင့်သာ တြိဂံဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ စတုဂံဖြစ်ကြောင်း သက်သေမပြနိုင်ပါ။ တြိဂံမြင်ပါလျှက် တြိဂံဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခိုင်း ခြင်းမှာ လက်တွေ့မဆန်ကြောင်း ဝေဖန်လေ့ရှိသည်။ လက်တွေ့ဆန်မှု မဆန်မှုကို စစ်ဆေးလိုခြင်းမဟုတ်ပဲ၊ ဘာသာရပ် နားလည်တတ်သိမှု၊ အယူအဆကို နားလည်မှု၊ ဝေါ်ဟာရသိရှိမှု၊ ဆင်ခြင်သုံးသပ်နိုင်မှု စသည့် သက်သေပြသူ၏ စွမ်းရည်ကို စစ်ဆေးခြင်းဖြစ်သည်။

Example (1)

Prove by contradiction that $\sqrt{2}$ is an irrational number. $\sqrt{2}$ သည် irrational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Irrational number ဆိုသည်မှာ အဆုံးမရှိ ပြန်မထပ် ဒသမကိန်း တစ်နည်း အပိုင်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ခြင်းမရှိသော မရှိသော ကိန်းများဖြစ်သည်။ ယခုပုစ္ဆာကို သက်သေပြရန် အပိုင်းကိန်း၏ သတ်မှတ်ချက်ကို သိရှိရန်လိုပါသည်။

အပိုင်းကိန်းဆိုသည်မှာ ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏ အချိုးဖြစ်သည်။ ပိုင်းခြေနှင့် ပိုင်းဝေနှစ်ခုလုံးသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ ပိုင်းဝေနှင့်ပိုင်းခြေသည် အငယ်ဆုံး ကျဉ်းပိုင်းပုံစံ ဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\displaystyle\frac{p}{q}$ ဟုရေးလျှင် $p$ နှင့် $q$ သည် $1$ မှ လွဲ၍ မည်သည့်ကိန်းနှင့်မှ စား၍ မပြတ်တော့သော ကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ရမည်။ တစ်နည်းဆိုသော် $p$ နှင့် $q$၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းမှာ $1$ သာ ဖြစ်ရမည်။ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းမှာ $1$ သာရှိသော ကိန်းနှစ်လုံးကို relatively prime numbers (သို့မဟုတ်) coprime numbers ဟုခေါ်သည်။ အပိုင်းကိန်းတစ်ခု တွင် ပိုင်းဝေနှင့်ပိုင်းခြေသည် coprime numbers များ ဖြစ်ရမည်။

$\sqrt{2}$ သည် irrational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ ဟုမေးထားသည် ဖြစ်ရာ ပေးထားအဆိုကို ဆန့်ကျင် ယူဆပါမည်။

ဆန့်ကျင် ယူဆချက်မှာ $\sqrt{2}$ သည် rational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $\sqrt{2}$ ကို $\displaystyle\frac{p}{q}$ ဟူ၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ $p$ နှင့် $q$ တွင် $1$ မှလွဲ၍ တူညီသော ဘုံဆခွဲကိန်း မရှိပါ။

ထို့ကြောင့် $p^2=2q^2$ ဖြစ်ပါမည်။

$p^2$ နှင့် $q^2$ နှစ်ထပ်ကိန်းများ (perfect square) များ တွေ့ရပါသည်။

နှစ်ထပ်ကိန်းများ ၏ ဂုဏ်သတ္တိမှာ မကိန်း ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် မကိန်း သာ ဖြစ်ပြီး စုံကိန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် စုံကိန်းသာ ဖြစ်သည်။

စုံကိန်းတစ်ခုသည် 2 ဖြင့်စား၍ ပြတ်သောကြောင့် မည်သည့်ကိန်း $k$ အတွက် မဆို $2k$ သည်စုံကိန်း ဖြစ်ပြီး စုံကိန်း မှ $1$ လျော့လျှင် (သို့) စုံကိန်းကို $1$ တိုးလျှင် မကိန်းဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် မည်သည့်ကိန်း $k$ အတွက် မဆို $2k\pm 1$ သည် မကိန်းဖြစ်သည်။

$2q^2$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သောကြောင့် $p^2$ သည် စုံကိန်းဖြစ်ပြီး $2q^2$ သည် စုံကိန်းဖြစ်ရန် $q^2$ သည် မကိန်းသာ ဖြစ်ရမည်။

ထို့ကြောင့် $q$ သည် မကိန်း ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $p$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $p =2k$ ဟု ယူဆနိုင်သည်။

ထို့ကြောင့် $(2k)^2=2q^2$ ဖြစ်မည်။

ထို့ကြောင့် $(q^2=2k^2$ ဖြစ်မည်။ ရလဒ်အရ $q^2$ သည် စုံကိန်းဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $q$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သည်။

အကြောင်းအခြင်းအရာ ညီညွတ်ခြင်း မရှိသောကြောင့် $\sqrt{2}$ သည် rational ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည် ဆိုသော ယူဆချက်မှန်ပါ။

ထို့ကြောင့် မူလအဆို $\sqrt{2}$ သည် irrational ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုသည့် အဆိုမှာ မှန်သည်ဟု သက်သေပြနိုင်သည်။

Solution Assume that $\sqrt{2}$ is a rational number. Then$\sqrt{2}=\displaystyle \frac{p}{q}$ where $p$ and $q$ have no common factor. $\therefore\ \ p^2=2q^2$. $\therefore\ \ p^2$ is even that implies $p$ is even and hence $q^2$ and $q$ must be odd. Since $p$ is even, assume that $p=2k$ where $k$ is an integer. $\therefore\ \ (2k)^2=2q^2$ and $q^2 = 2k^2$ that implies $q$ is an even number and this is contradiction. Hence, we can say that $\sqrt{2}$ is an irrational number.

Example (2)

Prove by contradiction that for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ do not have a prime factor in common. $1$ ထက်ကြီး သောမည့်သည့်ကိန်းပြည့် $n$ အတွက်မဆို $n$ နှင့် $n+1$ တွင် တူညီသော သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း မရှိကြောင်း ဆန့်ကျင်သက်သေပြနည်း ဖြင့် သက်သေပြပါ။

$n$ နှင့် $n+1$ သည် ရှေ့နောက်ကပ်လျှက် ကိန်းပြည့်နှစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ဆခွဲကိန်း မရှိနိုင်ပါ။ မရှိကြောင်း ဆန့်ကျင် သက်သေပြရမည် ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $1$ ထက်ကြီး သောမည့်သည့်ကိန်းပြည့် $n$ အတွက်မဆို $n$ နှင့် $n+1$ တွင် တူညီသော သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း ရှိသည်ဟု ယူဆမည်။

အဆိုပါ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းသည် $p$ ဖြစ်ပါစေ။

ထို့ကြောင့် $n=pk$, $k$ သည် ကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

နှင့် $n+1 = pk$, $k$ သည် ကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $(n+1)-n = p(h-k)$ ဖြစ်မည်။

ဆက်လက်ဖြေရှင်းသော် $p (h-k) = 1$ ဖြစ်မည်။

အထက်ပါညီမျှခြင်းတွင် $p$ နှင့် $h-k$ တို့သည် မတူညီသော ဆခွဲကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

သို့ရာတွင် $1$ ၏ ဆခွဲကိန်းမှာ $1$ သာ ဖြစ်သောကြောင့် $p$ နှင့် $h-k$ တို့သည် မတူညီသော ဆခွဲကိန်းများ ဖြစ်ကြသည် ဆိုသော ရလဒ်မမှန်တော့ပါ။ ထို့ကြောင့် ဆန့်ကျင်ယူဆချက်မှားပြီး မူလအဆို မှန်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။

Solution Suppose that for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ have a prime factor $p$. Then we have $n=pk$ and $n+1=ph$ where $k$ and $h$ are distinct integers. Hence $(n+1)-n = p(h-k)$ that implies $p(h-k)=1$. Here $p$ and $h-k$ are distinct integers but 1 only has itself as a factor so this is a contradiction. Thus, for any integer $n>1$, $n$ and $n+1$ do not have a prime factor in common.

Example (3)

Prove by contradiction that the curves $ y=x^4+7x^2+5$ and $ y=x^2$ do not intersect each other. $ y=x^4+7x^2+5$ နှင့် $ y=x^2$ တစ်ခုနှင့် တစ်ခု မဖြတ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

သိရှိထားမည့် အချက်မှာ Curve နှစ်ခု တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဖြတ်လျှင် ညီမျှခြင်းနှစ်ခုကို တပြိုင်နက် ပြေလည်စေနိုင်သော $x$ တန်ဖိုး ရှိသည်။ ဆန့်ကျင် အဆိုပြုချက် $ y=x^4+7x^2+5$ နှင့် $ y=x^2$ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဖြတ်သည်ဟုယူဆ၍ ဖြတ်မှတ်ရှာမည်။ ဖြတ်မှတ်မရှိသောအခါ ယူဆချက်မှားယွင်းကြောင်း မူလအဆို မှန်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါသည်။

Solution $ C_1 :\quad y=x^4+7x^2+5$ $ C_2 :\quad y=x^4+7x^2+5$ Assume that $ C_1$ and $ C_2$ intersect each other. At the point of intersection, $ x^4+7x^2+5 = x^2$ $ x^4+6x^2+5 = 0$ $ \therefore \quad (x^2+5)(x^2+1)=0$ $ \therefore \quad x^2= -5 \ \text{or}\ x^2=-1$ There is no real solution for $x$ and our assumption is not true. Hence the curves $ y=x^4+7x^2+5$ and $ y=x^2$ do not intersect each other.

Example (4)

Use proof by contradiction to show that there exist no integers a and b for which $25a + 15b = 1$. ဆန့်ကျင် သက်သေပြနည်းကို သုံး၍ $25a + 15b = 1$ ကို‌ ပြေလည်စေသော ကိန်းပြည့်တန်ဖိုး $a$ နှင့် $b$ မရှိကြောင်း သက်သေပြပါ။

သိရှိထားရမည့် အချက်မှာ ကိန်းပြည့်များ၏ ပေါင်းလဒ်၊ နုတ်လဒ်နှင့် မြှောက်လဒ်တို့မှာ ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်သည်။

Solution Let us assume that there exist integers $a$ and $b$ for which $25a + 15b = 1$. Since $25a + 15b = 1$, dividing both sides with 5, $5a + 3b =\displaystyle \frac{1}{5}$. Since $a$ and $b$ are integers, both $5a$ and $3b$ are integers and their sum $5a + 3b$ must be integers. But $\displaystyle \frac{1}{5}$ is not integer and so this is contradiction. So, our assumption is false and the original statement is true. Therefore, there do not exist integers $a$ and $b$ for which $25a + 15b = 1$.

Exercises

1. Prove by contradiction that $\sqrt{3}$ is irrational.


2. Prove by contradiction that the sum of a rational number and an irrational number is irrational.


3. Prove by contradiction that there are infinitely many prime numbers.


4. Prove, by contradiction that $\displaystyle\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b} \quad \forall\ a, b \in \mathbb{N}$.


5. Prove by contradiction that if $m^{2}=10$ then $m$ is not a rational number.

Trigonometric Ratios of ( – θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ {y}'=y\ \text{and }{x}'=x\ \text{numerically}\text{.}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \text{But it is clear that, and }{y}'\ \text{have }y\ \text{opposite signs}\\\ \ \text{ }{x}'\ \text{and }x\ \text{have the same sign,}\end{array}$

$ \displaystyle \therefore {y}'=-y\ \text{and }{x}'=x.$

$ \displaystyle \therefore \sin (-\theta )={y}'=-y=-\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (-\theta )={x}'=x=\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (-\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{y}{x}=-\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (-\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{x}{y}=-\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (-\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=\frac{1}{x}=\sec \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(-\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=-\frac{1}{y}=-\operatorname{cosec}\theta $

Slider ကို ေ႐ႊ႕ၾကည့္ပါ။
 

Trigonometric Ratios of (270° + θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle OPN,$

$ \displaystyle \ \ \ {y}'=x\ \text{and }{x}'=y\ \text{numerically}\text{.}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{But }{P}'({x}',{y}')\ \text{lies in the fourth quadrant}\text{.}$

$ \displaystyle \therefore {y}'=-x\ \text{and }{x}'=y.$

$ \displaystyle \ \ \ \sin (270{}^\circ +\theta )={y}'=-x=-\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (270{}^\circ +\theta )={x}'=y=\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (270{}^\circ +\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{{x}}{{y}}=\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (270{}^\circ +\theta )=\frac{{{x}'}}{{{y}'}}=-\frac{{y}}{{x}}=\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (270{}^\circ +\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=\frac{1}{y}=\operatorname{cosec}\theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(270{}^\circ +\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=-\frac{1}{x}=-\sec\theta $

θ တန္ဖိုး ရိုက္ထည့္ပါ။

Trigonometric Ratios of (270° - θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle OPN,$

$ \displaystyle \ \ \ {y}'=x\ \text{and }{x}'=y\ \text{numerically}\text{.}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{But }{P}'({x}',{y}')\ \text{lies in the third quadrant}\text{.}$

$ \displaystyle \therefore {y}'=-x\ \text{and }{x}'=-y.$

$ \displaystyle \ \ \ \sin (270{}^\circ -\theta )={y}'=-x=-\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (270{}^\circ -\theta )={x}'=-y=-\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (270{}^\circ -\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=\frac{{-x}}{{-y}}=\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (270{}^\circ -\theta )=\frac{{{x}'}}{{{y}'}}=\frac{{-y}}{{-x}}=\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (270{}^\circ -\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=-\frac{1}{y}=-\operatorname{cosec}\theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(270{}^\circ -\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=-\frac{1}{x}=-\sec\theta $

$ \displaystyle \theta$ တန္ဖိုး ရိုက္ထည့္ပါ။

Trigonometric Ratios of (90° – θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$


$ \displaystyle \ \ \ \sin (90{}^\circ -\theta )=x=\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (90{}^\circ -\theta )=y=\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (90{}^\circ -\theta )=\frac{x}{y}=\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (90{}^\circ -\theta )=\frac{y}{x}=\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (90{}^\circ -\theta )=\frac{1}{y}=\operatorname{cosec}\theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(90{}^\circ -\theta )=\frac{1}{x}=\sec\theta $

$ \displaystyle \theta$ တန္ဖိုး ရိုက္ထည့္ပါ။

Trigonometric Ratios of (360° – θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ {y}'=y\ \text{and }{x}'=x\ \text{numerically}\text{.}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{But }{P}'({x}',{y}')\ \text{lies in the fourth quadrant}\text{.}$

$ \displaystyle \therefore {y}'=-y\ \text{and }{x}'=x.$

$ \displaystyle \therefore \sin (360{}^\circ -\theta )={y}'=-y=-\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (360{}^\circ -\theta )={x}'=x=\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (360{}^\circ -\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{{y}}{{x}}=-\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (360{}^\circ -\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{{x}}{{y}}=-\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (360{}^\circ -\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=\frac{1}{x}=\sec \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(360{}^\circ -\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=-\frac{1}{y}=-\operatorname{cosec}\theta $

Dynamic Presentation

Trigonometric Ratios of (180° + θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ {y}'=y\ \text{and }{x}'=x\ \text{numerically}\text{.}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{But }{P}'({x}',{y}')\ \text{lies in the third quadrant}\text{.}$

$ \displaystyle \therefore {y}'=-y\ \text{and }{x}'=-x.$

$ \displaystyle \therefore \sin (180{}^\circ +\theta )={y}'=-y=-\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (180{}^\circ +\theta )={x}'=-x=-\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (180{}^\circ +\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=\frac{{-y}}{{-x}}=\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (180{}^\circ +\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=\frac{{-x}}{{-y}}=\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (180{}^\circ +\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=-\frac{1}{x}=-\sec \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(180{}^\circ +\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=-\frac{1}{y}=-\operatorname{cosec}\theta $

Dynamic Presentation

Trigonometric Ratios of (90° + θ)

$ \displaystyle \ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,$

$ \displaystyle \ \ \ \sin \theta =y$

$ \displaystyle \ \ \ \cos \theta =x$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle OPN,$

$ \displaystyle \ \ \ {y}'=x\ \text{and }{x}'=y\ \text{numerically}\text{.}$

$ \displaystyle \ \ \ \text{But }{P}'({x}',{y}')\ \text{lies in the second quadrant}\text{.}$

$ \displaystyle \therefore {y}'=x\ \text{and }{x}'=-y.$

$ \displaystyle \ \ \ \sin (90{}^\circ +\theta )={y}'=x=\cos \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cos (90{}^\circ +\theta )={x}'=-y=-\sin \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \tan (90{}^\circ +\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{x}{y}=\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (90{}^\circ +\theta )=\frac{{{x}'}}{{{y}'}}=-\frac{y}{x}=\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (90{}^\circ +\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=-\frac{1}{y}=-\operatorname{cosec}\theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(90{}^\circ +\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=\frac{1}{x}=sec\theta $

 $ \displaystyle \theta$ တန္ဖိုး႐ိုက္ထည့္ၾကည့္ပါ။

Trigonometric Ratios of (180° – θ)

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \text{In}\ \vartriangle PON,\\\\\ \ \ \sin \theta =y\\\\\ \ \ \cos \theta =x\end{array}$

$ \displaystyle \ \ \ \tan \theta =\frac{y}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \cot \theta =\frac{x}{y}$

$ \displaystyle \ \ \ \sec \theta =\frac{1}{x}$

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}\theta =\frac{1}{y}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \text{Since}\ \vartriangle {P}'O{N}'\cong \vartriangle PON,\\\\\ \ \ {y}'=y\ \text{and }{x}'=x\ \text{numerically}\text{.}\\\\\ \ \ \text{But }{P}'({x}',{y}')\ \text{lies in the second quadrant}\text{.}\\\\\therefore {y}'=y\ \text{and }{x}'=-x.\\\\\therefore \sin (180{}^\circ -\theta )={y}'=y=\sin \theta \\\\\ \ \ \cos (180{}^\circ -\theta )={x}'=-x=-\cos \theta \end{array}$

$ \displaystyle \ \ \ \tan (180{}^\circ -\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{y}{x}=-\tan \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \cot (180{}^\circ -\theta )=\frac{{{y}'}}{{{x}'}}=-\frac{x}{y}=-\cot \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \sec (180{}^\circ -\theta )=\frac{1}{{{x}'}}=-\frac{1}{x}=-\sec \theta $

$ \displaystyle \ \ \ \operatorname{cosec}(180{}^\circ -\theta )=\frac{1}{{{y}'}}=\frac{1}{y}=\operatorname{cosec}\theta $

Dynamic Presentation

Exercise (11.2) No.1 Solution

(a) $ \displaystyle \ \ \ \frac{{\tan \theta -1+\sec \theta }}{{\tan \theta +1-\sec \theta }}$

$ \displaystyle \text{=}\frac{{\tan \theta +\sec \theta -1}}{{\tan \theta -\sec \theta +1}}$

$ \displaystyle \text{=}\frac{{\left( {\tan \theta +\sec \theta } \right)-\left( {{{{\sec }}^{2}}\theta -{{{\tan }}^{2}}\theta } \right)}}{{\tan \theta -\sec \theta +1}}\ $
$ \displaystyle \ \ \ \left[ {\because {{{\tan }}^{2}}\theta +1={{{\sec }}^{2}}\theta } \right]$

$ \displaystyle \text{=}\frac{{\left( {\tan \theta +\sec \theta } \right)-\left( {\sec \theta +\tan \theta } \right)\left( {\sec \theta -\tan \theta } \right)}}{{\tan \theta +1-\sec \theta }}$

$ \displaystyle \text{=}\frac{{\left( {\tan \theta +\sec \theta } \right)\left( {1-\sec \theta +\tan \theta } \right)}}{{1-\sec \theta +\tan \theta }}$

$ \displaystyle =\tan \theta +\sec \theta $

$ \displaystyle =\frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}+\frac{1}{{\cos \theta }}$

$ \displaystyle =\frac{{1+\sin \theta }}{{\cos \theta }}$


(b) $ \displaystyle \ \ \ \frac{{1-\cos x}}{{1+\cos x}}$

$ \displaystyle =\frac{{1-\cos x}}{{1+\cos x}}\times \frac{{1-\cos x}}{{1-\cos x}}$

$ \displaystyle =\frac{{{{{\left( {1-\cos x} \right)}}^{2}}}}{{1-{{{\cos }}^{2}}x}}$

$ \displaystyle =\frac{{1-2\cos x+{{{\cos }}^{2}}x}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}$

$ \displaystyle =\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x}}-\frac{2}{{\sin x}}\cdot \frac{{\cos x}}{{\sin x}}+\frac{{{{{\cos }}^{2}}x}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}$

$ \displaystyle ={{\operatorname{cosec}}^{2}}x-2\operatorname{cosec}x\cot x+{{\cot }^{2}}x$

$ \displaystyle ={{\operatorname{cosec}}^{2}}x-2\operatorname{cosec}x\cot x+{{\operatorname{cosec}}^{2}}x-1\ $
$ \displaystyle \ \ \ \left[ {\because 1+{{{\cot }}^{2}}x={{{\operatorname{cosec}}}^{2}}x} \right]$

$ \displaystyle =2{{\operatorname{cosec}}^{2}}x-2\operatorname{cosec}x\cot x-1$


(c)$ \displaystyle \ \ \ (1+\tan x-\sec x)(1+\cot x+\operatorname{cosec}x)$

$ \displaystyle =\ \left( {1+\frac{{\sin x}}{{\cos x}}-\frac{1}{{\cos x}}} \right)\left( {1+\frac{{\cos x}}{{\sin x}}+\frac{1}{{\sin x}}} \right)$

$ \displaystyle =\frac{{\cos x+\sin x-1}}{{\cos x}}\ \times \frac{{\sin x+\cos x+1}}{{\sin x}}$

$ \displaystyle =\frac{{{{{(\cos x+\sin x)}}^{2}}-1}}{{\sin x\cos x}}$

$ \displaystyle =\frac{{{{{\cos }}^{2}}x+2\sin x\cos x+{{{\sin }}^{2}}x-1}}{{\sin x\cos x}}$

$ \displaystyle =\frac{{{{{\cos }}^{2}}x+{{{\sin }}^{2}}x+2\sin x\cos x-1}}{{\sin x\cos x}}$

$ \displaystyle =\frac{{1+2\sin x\cos x-1}}{{\sin x\cos x}}$

$ \displaystyle =2$