Equality of Functions

Equality of Functions

Two functions f and g are equal if and only if

1. f and g have the same domain,
2. f and g have the same codomain, and
3. f(x) = g(x) for each x of the domain.

Function မ်ားတူညီျခင္း

Function ႏွစ္ခု f နဲ႔ g ဆိုပါစို႔။ f=g လို႔ ေျပာႏိုင္ဖို႔ အတြက္ အေျခအေန သံုးရပ္နဲ႔ ကိုက္ညီမႈ ရွိရပါမယ္။

(၁) Domain တူညီရမယ္။

(၂) Codomain တူညီရမယ္။

(၃) Domain ထဲမွာ ရွိတဲ့ အစု၀င္ x တိုင္းအတြက္ f(x) = g(x) ျဖစ္ရမယ္။ တစ္နည္းေျပာရင္ function f ရဲ့ image ေတြနဲ႔ function g ရဲ့ image ေတြ တူညီရမယ္ေပါ့။

ဒီအေျခအေန သံုးရပ္လံုးနဲ႔ ကိုက္ညီတယ္ဆိုရင္ function ႏွစ္ခု တူညီတယ္လို႔ ေျပာႏိုင္ပါတယ္။

ေအာက္က example ေလးေတြ ဆက္ၿပီး ေလ့လာၾကည္ရေအာင္။

Example (1)

Solution

f(x) = x² g(x) = 2x – 1

f(1) = 1² = 1 g(1) = 2(1) – 1 = 1.

Therefore f(x) = g(x) for every x A.

f = g

အထက္မွာ ေျပာခဲ့တဲ့ အခ်က္သံုးခ်က္နဲ႔ ျပန္စစ္ၾကည့္ရေအာင္ . . .

1. f နဲ႔ g ဟာ Domain တူပါတယ္။ ႏွစ္ခုလံုးရဲ့ Domain ဟာ A ျဖစ္တယ္။
2. f နဲ႔ g ဟာ Codomain လည္းတူပါတယ္။ ႏွစ္ခုလံုးအတြက္ B ျဖစ္တယ္။
3. Domain ထဲမွာ အစု၀င္ တစ္ခုရွိပါတယ္။ 1 ျဖစ္ပါတယ္။ f(1) = 1 ျဖစ္ၿပီးေတာ့ g(1) = 1 ျဖစ္တဲ့အတြက္ image ေတြလည္းတူပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ f = g ျဖစ္တယ္လို႔ ေျပာႏိုင္ပါတယ္။
   

Example (2)

Solution

f(x) = x² g(x) = 2x – 1

f(1) = 1² = 1 g(1) = 2(1) – 1 = 1.

f(2) = 2² = 4 g(2) = 2(2) – 1 = 3.

f(1) = g(1) but f(2) ≠ g(2).

Therefore f(x) ≠ g(x) for every x C.

f ≠ g

ဒီဥပမာမွာ ဆိုရင္ function ႏွစ္ခုလံုးအတြက္ Domain နဲ႔ Codomain တူညီတယ္ဆိုတာ သိၿပီး ျဖစ္မွာပါ။

f(1) = g(1)

f(2) ≠ g(2) ျဖစ္ေနပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ Domain ထဲမွာ ရွိတဲ့ အစု၀င္ x တိုင္းအတြက္ f(x) = g(x) မျဖစ္ေတာ့ပါဘူး။

ဒါေၾကာင့္ ဒီေမးခြန္းမွာ f ≠ g လို႔ ဆိုရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။

Example (3)

Let f : R R and g : R R are functions such that f(0) = 2 and g(0) = 2. Can you say that f and g are the same function? Why?

Solution

Here f(0) = g(0). But we cannot say that f(x) = g(x) for every x R. Therefore we cannot say that f and g are the same function.

ဒီေမးခြန္းကေတာ့ set of real numbers (R) နဲ႔ equality of functions ဆိုတာကို အေသအခ်ာ နားလည္ သေဘာေပါက္မႈ ရွိရဲ့လားဆိုတာကို စစ္ေဆးလိုက္တာပါ။

R ဆိုတာက set of real numbers (ကိန္းစစ္မ်ားပါ၀င္ေသာ အစု) ေပါ့။ ကိန္းမ်ဥ္းေပၚမွာ ရွိတဲ့ အမွတ္တိုင္းကို ကိုယ္စားျပဳပါတယ္။

f နဲ႔ g ဟာ Domain နဲ႔ Codomain တူပါတယ္။ f(0) = g(0) ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ f = g လို႔ မသတ္မွတ္ႏိုင္ပါဘူး။ R ဆိုတဲ့ အစုထဲမွာ အစု၀င္ေတြ မေရမတြက္ႏိုင္ေအာင္ ရွိပါတယ္။ အဲဒီအထဲမွာမွ 0 ရဲ့ image မ်ားသာလွ်င္ တူညီတယ္လို႔ ေပးထားခ်က္အရ သိရၿပီး၊ က်န္တဲ့ အစု၀င္ေတြအတြက္ ဘာမွ မေျပာႏိုင္ပါဘူး။ ဒါေၾကာင့္ f နဲ႔ g ဟာ တူညီေသာ function မ်ားျဖစ္တယ္လို႔ ဘယ္လိုမွ ေျပာခြင့္မရွိပါဘူး။

ဒီေလာက္ဆိုရင္ Equality of Functions ဆိုတာကို သေဘာေပါက္ေလာက္ၿပီ ထင္ပါတယ္။