Ways to describe functions

Function မ်ားကို ေဖၚျပႏိုင္ေသာ နည္းလမ္းမ်ား

ဒီတစ္ခါေတာ့ function ေတြကို ေဖၚျပႏိုင္တဲ့ နည္းလမ္းေတြကို ေျပာျပပါမယ္။

ဆိုၾကပါစို႔။ function f ဟာ A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} နဲ႔ B = {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9} ကို f(x)=3x နဲ႔ ဆက္သြယ္ထားတဲ့ function တစ္ခု ျဖစ္ပါတယ္။ ဒီ function ရဲ့ ဆက္သြယ္ခ်က္ေတြ သိဖို႔ function ထဲမွာ အစားသြင္းၾကည့္ရေအာင္။

f(x) = 3x

f(-3) = 3(-3) = -9

f(-2) = 3(-2) = -6

f(-1) = 3(-1) = -1

f(0) = 3(0) = 0

f(1) = 3(1) = 3

f(2) = 3(2) = 6

f(3) = 3(3) = 9 ဆိုတဲ့ ဆက္သြယ္ခ်က္ေတြ ရတာေပါ့။

အဲဒီဆက္သြယ္ခ်က္ကို အလြယ္တကူ ထင္ရွား ျမင္သာေအာင္ ေဖၚျပႏိုင္တဲ့ နည္းလမ္းေတြ အေၾကာင္း ဆက္ရွင္းျပ ပါမယ္။

1. A verbal statement

အထက္က function ရဲ့ ဆက္သြယ္ခ်က္ကို ၾကည့္မယ္ဆိုရင္ x↦3x ျဖစ္တာေၾကာင့္ မူလတန္ဖိုးဟာ image ရဲ့ သံုးပံု တစ္ပံု ျဖစ္တယ္ဆိုတာကို သိၾကမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါကို verbal statement နဲ႔ ေဖၚျပမယ္ဆိုရင္

A function from A to B : “is one-third of " လို႔ ေျပာရမွာေပါ့။ အထက္က ဆက္သြယ္ခ်က္ကို verbal statement နဲ႔ ျပန္ခ်ေရးမယ္ ဆိုရင္-

-3 is one-third of -9
-2 is one-third of -6
-1 is one-third of -3
0 is one-third of 0
1 is one-third of 3
2 is one-third of 6
3 is one-third of 9 လို႔ ေျပာလို႔ရပါတယ္။

2. Arrow diagram

ဒီေဖၚျပပံု စနစ္ကေတာ့ ထင္ရွားျမင္သာၿပီး ရိုးရွင္းပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ အကန္႔အသတ္နဲ႔သာ ရွိၿပီး တိတိက်က် ေဖၚျပႏိုင္တဲ့ အစု၀င္ေတြ ပါတဲ့ domain နဲ႔ codomain တို႔အတြက္သာ သင့္ေလ်ာ္ပါတယ္။ အခုလို ေဖၚျပပါတယ္။

3.A set of ordered pairs

Function တစ္ခုကို အစုနဲ႔ ေဖၚျပျခင္း ျဖစ္ပါတယ္။ Domain ထဲက အစု၀င္ (elements of domain) ေတြကို independent variables လို႔ေခၚၿပီး image ေတြကို dependent variables လို႔ ေခၚပါတယ္။ ordered pair တစ္ခုကို ေရးတဲ့အခါ (independent variables, dependent variables) လို႔ ေရးရပါတယ္။

အထက္မွာ ေဖၚျပခဲ့တဲ့ function ကို ျပန္ၾကည့္ရင္ -

(-3, -9), (-2, -6), (-1, -3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9) ဆိုတဲ့ ordered pairs ေတြကို ေတြ႔ရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ အစုဆိုတာက အစု၀င္ေတြကို တြန္႔ကြင္း { } ထဲမွာ ထည့္ေရးရတယ္ဆိုတာကို သိၿပီးျဖစ္မွာပါ။ ဒါ့ေၾကာင့္ ေျပာခဲ့တဲ့ function ကို set of ordered pairs နဲ႔ ေဖၚျပမယ္ဆိုရင္ -

A function from A to B = {(-3, -9), (-2, -6), (-1, -3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)} လို႔ ေဖၚျပေပးရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။

4. Table form

Function ေတြကို ေဖၚျပတဲ့ နည္းလမ္းေတြထဲက အသံုးမ်ားၿပီး အသံုး၀င္တဲ့ စနစ္တစ္ခုေပါ့။ စာရင္းဇယားဆိုတာ လုပ္ေဆာင္ခ်က္နဲ႔ ရလဒ္ေတြကို ႏႈိုင္းယွဥ္ၾကည့္တဲ့ စနစ္တစ္ခုပဲ မဟုတ္လား။ အထက္က function ကို table နဲ႔ ေဖၚျပမယ္ဆိုရင္ အခုလိုေဖၚျပရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
3x	-9	-6	-3	0	3	6	9

5. Graph

အသံုးအမ်ားဆံုး နည္းလမ္းတစ္ခုပါပဲ။ လုပ္ငန္းတစ္ခုရဲ့ အတက္အက် လုပ္ေဆာင္ခ်က္တစ္ခုရဲ့ အသြင္သဏၭာန္၊ အေျခအေနကို အလြယ္တကူ ခန္႔မွန္းႏိုင္ဖို႔ graph ေတြဆြဲၿပီး ၾကည့္သလိုေပါ့။ လုပ္ငန္းေဆာင္ရြက္ခ်က္ေတြ ဆိုတာ တကယ္ေတာ့ function ေတြပါပဲ။

Graph ဆိုတာ ေရျပင္ညီ (x-axis) နဲ႔ ေဒါင္လိုက္ (y-axis) ၀င္ရိုးႏွစ္ခုနဲ႔ ဖြဲ႔စည္းထားတဲ့ ျပင္ညီ (Cartesian plain) ေပၚမွာ ဆက္သြယ္ခ်က္ရဲ့ တည္ေနရာေတြကို သတ္မွတ္ေပးလိုက္တာပါ။

Graph ဆြဲတဲ့ အခါ သတိထားရမွာက elements of domain (independent variables) ေတြက္ို x ၀င္ရိုးမွာ ထားရပါတယ္၊ elements of codomain (dependent variables) ေတြကိုေတာ့ y ၀င္ရိုးမွာ ထားပါတယ္။ Domain နဲ႔ Codomain ထဲမွာပါတဲ့ elements ေတြကို ၀င္ရိုးေတြေပၚမွာ အညီအမွ် အပိုင္းအျခား (same interval) သတ္မွတ္ ေပးရပါတယ္။ ဆက္သြယ္ခ်က္အတိုင္း ေနရာ (location) ကို သတ္မွတ္ေပးရပါတယ္။ အထက္က ေျပာခဲ့တဲ့ function ကို graph နဲ႔ ေဖၚျပမယ္ဆိုရင္ အခုလိုရရွိမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒီေနရာမွာ y=3x ျဖစ္ပါတယ္။

အခုေဖၚျပတဲ့ graph မွာ function ရဲ့ result ဟာ အမွတ္စက္ (point) ေတြ အျဖစ္သာ ရွိေနမွာပါ။ curve မဟုတ္ ပါဘူး။ ဘာေၾကာင့္လဲ ဆိုရင္ေတာ့ domain ထဲမွာရွိတဲ့ elements ၇ခုအတြက္ပဲ သတ္မွတ္ရတာ ျဖစ္လို႔ပါပဲ။

အကယ္၍ domain နဲ႔ codomain ဟာ A နဲ႔ B မဟုတ္ပဲ R (set of real numbers) ျဖစ္တယ္ဆိုပါစို႔။ ဆိုလိုတာက -

Function f:R⇢R and f(x)=3x ေပါ့။

ဒါဆိုရင္ေတာ့ elements of domain ဟာ x ၀င္ရိုးေပၚမွာ ရွိတဲ့ အမွတ္တိုင္းကို ဆိုလိုတာ ျဖစ္ၿပီး၊ elements of codomain ဟာ y ၀င္ရိုးေပၚမွာရွိတဲ့ အမွတ္တိုင္းကို ဆိုလိုတာ ျဖစ္ပါတယ္။ အမွတ္တစ္ခုနဲ႔ တစ္ခုၾကားမွာ ေနရာလပ္ (interval or gap) ဆိုတာ မရွိေတာ့ဘူး။ ဒါေၾကာင့္ ရလာတဲ့ result ဟာ curve ျဖစ္လာတာေပါ့။ ေအာက္က graph ကို ၾကည့္ပါ။

f:R⇢R and y=f(x)=3x ရဲ့ graph ပါ။

ေနာက္ထပ္ဥပမာတစ္ခုၾကည့္ရေအာင္…

A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

B = {x|-10 ≤ x ≤ 10, x is an integer.}

f : A⇢B, y=f(x) = x² အတြက္ graph ဆြဲမယ္ဆိုရင္ ေအာက္က ပံုအတိုင္းရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။

f:R⇢R, y=f(x) = x² အတြက္ graph ဆြဲမယ္ဆိုရင္ေတာ့ အခုလို curve ပံုသဏၭာန္ ရမွာျဖစ္တယ္။

ဒါဆိုရင္ function ေတြကို ေဖၚျပပံုနည္းလမ္းမ်ားနဲ႔ graph ရဲ့ သေဘာသဘာ၀ကို နားလည္းႏိုင္ၿပီလို႔ ထင္ပါတယ္။