Trigonometric Limits

$ \displaystyle \odot O$ ဟာ unit circle (radius = $ \displaystyle 1$ unit) တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။ $ \displaystyle x$ radian ပမာဏရွိတဲ့ $\displaystyle \angle AOB$ ကို ဗဟိုမွာ တည္ေဆာက္ပါမယ္။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle A$ ကေန $ \displaystyle OB$ ေပၚကို ေထာင့္မတ္က်တဲ့မ်ဥ္း $ \displaystyle AC$ အလ်ားက $ \displaystyle \sin x$ ျဖစ္သြားမယ္။ ဘာ့ေၾကာင့္လဲ ... $\displaystyle \frac{{AC}}{{OA}}=\sin x$ ျဖစ္လို႔ပါ။

အမွတ္ $ \displaystyle B$ မွာ $ \displaystyle \odot O$ ကို tangent ျဖစ္တဲ့ မ်ဥ္းတစ္ေၾကာင္းဆြဲပါမယ္။ ၎ tangent မ်ဥ္းက $ \displaystyle OA$ ဆက္ဆြဲမ်ဥ္းကို $ \displaystyle D$ ျဖတ္ပါမယ္ $ \displaystyle OB$ က radius ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle DA\bot OB$ ျဖစ္ပါတယ္။

ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံ $ \displaystyle \vartriangle OBD$ မွာ $ \displaystyle \frac{{OD}}{{OB}}=\tan x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle OD = \tan x$ ျဖစ္ပါတယ္။

တစ္ခါ ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံ $ \displaystyle \vartriangle AOC$ မွာ $ \displaystyle \frac{{OC}}{{OA}}=\cos x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle OC = \cos x$ ျဖစ္ပါတယ္။

ဒါဆိုရင္ အခု $ \displaystyle \vartriangle AOB$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္မယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of } \vartriangle AOB=\frac{1}{2}\times OB\times AC$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times \sin x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sin x$

Sector $ \displaystyle AOB$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္ဦးမယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of sector AOB}=\frac{1}{2}\times O{{B}^{2}}\times x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}x$

အခုတစ္ခါ $ \displaystyle \vartriangle OBD$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္ဦးမယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of }\vartriangle OBD=\frac{1}{2}\times OB\times BD$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times \tan x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\tan x$

ပံုမွာ ျမင္ရတဲ့ အတိုင္း...

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of }\vartriangle OBD>\text{Area}\ \text{of sector AOB}>\text{Area}\ \text{of }\vartriangle AOB$

ျဖစ္တယ္ဆိုတာ သိသာေစပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{1}{2}\tan x>\frac{1}{2}x>\ \frac{1}{2}\tan x$ ျဖစ္မွာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \tan x>x>\sin x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{{\sin x}}{{\cos x}}>x>\sin x$ ျဖစ္မွာေပါ့။

ဒီေနရာမွာ $ \displaystyle \sin x, \cos x, \tan x$ တို႔ဟာ အနားေတြရဲ့ အလ်ားေတြ ျဖစ္လို႔ အေပါင္းကိန္းေတြ ျဖစ္တယ္လို႔ သိရပါမယ္။ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုလံုးကို $ \displaystyle \sin x$ နဲ႔ စားလိုက္ရင္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{1}{{\cos x}}>\frac{x}{{\sin x}}>1$ ျဖစ္ပါတယ္။

အေပါင္းကိန္းေတြရဲ့ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုမွာ တန္ဖိုးေတြကို ေျပာင္းျပန္လွန္ရင္ လကၡဏာက ဆန္႔က်င္ဘက္ကို ေျပာင္းရပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \cos x<\frac{{\sin x}}{x}<1$ ဆိုတာ ဖိုး $ \displaystyle 0$ မဟုတ္တဲ့ မည့္သည့္ေထာင့္တန္ဖိုး $ \displaystyle x$ အတြက္ မဆို မွန္ကန္တဲ့ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။

$ \displaystyle x=0$ ျဖစ္သြားရင္ေတာ့ $ \displaystyle \sin x= \sin 0=0, \cos x= \cos 0=1 $ ျဖစ္ေပမယ့္ $ \displaystyle \frac{{\sin x}}{x}= \frac{0}{0}$ ဆိုေတာ့ မေရမရာ ျဖစ္သြားပါေတာ့တယ္။

ဒါကို graphically ေျဖရွင္းႏိုင္ပါတယ္။ အေပၚက geogebra applet မွာ $ \displaystyle x$ တန္ဖိုးကို ေလွ်ာ့ၾကည္ပါ့။ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 0$ အနားကို ေရာက္လာေလေလ $ \displaystyle \sin x, x$ နဲ႔ $ \displaystyle \tan x$ တို႔ဟာ တစ္ထပ္ထဲ နီးပါ ျဖစ္လာပါေတာ့တယ္။ တနည္းဆိုေသာ္ $ \displaystyle \sin x\approx x\approx \tan x$ ျဖစ္လာတာေပါ့။ ဒါေၾကာင့္ ။ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 0$ အနားကို ေရာက္လာတဲ့အခါ $ \displaystyle \frac{{\sin x}}{x}\approx 1$ ျဖစ္သြားပါတယ္။ ဒါကို Limit Notation နဲ႔ $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x}}{x}=1$ လို႔ ေရးႏိုင္ပါတယ္။ အခ်ဳပ္ဆိုရရင္...

(1) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sin x} \right)=0$  (2) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\cos x} \right)=1$  (3) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)=1$

Problem Study : Trigonometric Limit

Evaluate $ \displaystyle \underset{{x\,\to \,\pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}$.

$\displaystyle x$ ေနရာမွာ $\displaystyle \pi$ ကို တိုက္႐ိုက္ အစားသြင္းၾကည့္မယ္။

$ \displaystyle \underset{{x\to \pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\frac{{1-\cos 7(\pi -\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\frac{{1-1}}{0}=\frac{0}{0}$

တိုက္ရိုက္ အစားသြင္းၾကည့္တဲ့ အခါ indeterminate form ျဖစ္သြားပါတယ္။ Limit ကို ဆက္ရွာလို႔ မရေတာ့ပါဘူး။ အမွန္တကယ္က $ \displaystyle {x\to \pi }$ ဆိုတာ $\displaystyle x=\pi$ မဟုတ္ပါဘူး $\displaystyle \pi$ ေလာက္နီးနီးရွိေသာ တန္ဖိုးတစ္ခု ျဖစ္တာေၾကာင့္ limit တန္ဖိုး တစ္ခုရွိပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ indetrminate form ကို ေက်ာ္လႊားဖို႔ trigonometric identity တစ္ခ်ိဳ႕ကို သံုးပါမယ္။

Trigonometric Limit ဆိုင္ရာ မွန္ကန္ခ်က္ တစ္ခုျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \underset{{u\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin u}}{u}=1$ ဆိုတာရယ္ Limit ရဲ့ ဂုဏ္သတိၱ မ်ားျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {Cf(x)} \right]=C\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ နဲ႔ $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {f(x)\cdot g(x)} \right]=\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)$ ဆိုတာကို သိရွိထားရပါမယ္။

အျမင္ရွင္းသြားေအာင္ $ \displaystyle {x-\pi =t}$ လို႔ထားလိုက္မယ္။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle x$ က $\displaystyle \pi$ ကို ခ်ဥ္းကပ္သြားတဲ့အခါ $\displaystyle t$ က $\displaystyle 0$ ကို ခ်ဥ္းကပ္ သြားမွာေပါ့။ တြက္ၾကည့္ၾကစို႔။

Solution

Let $ \displaystyle {x-\pi }=t$.

When  $ \displaystyle {x\to \pi }$, then $ \displaystyle {t\to 0 }$.

$ \displaystyle \therefore \underset{{x\to \pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7t}}{{5{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 2\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{5{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 2\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\left[ {1-2{{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)} \right]}}{{{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{49}}{4}\times {{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{\frac{{49}}{4}\times {{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{{{{\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin \left( {\frac{{7t}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}(1)(1)$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{49}}{{10}}$

Limit : Trigonometric Function

Evaluate $ \displaystyle \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x-\cos x}}{{x-\frac{\pi }{4}}}.$

Solution (1)

        $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x-\cos x}}{{x-\frac{\pi }{4}}}$

        $ \displaystyle =\ \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{\sin x-\cos x}}{{x-\frac{\pi }{4}}}\times \frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}} \right)$

        $ \displaystyle =\ \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sin x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\cos x}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\left( {x-\frac{\pi }{4}} \right)}}$

        $ \displaystyle =\ \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sin x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\cos x}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\left( {x-\frac{\pi }{4}} \right)}}$

        $ \displaystyle =\ \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\left( {x-\frac{\pi }{4}} \right)}}$

        $ \displaystyle =\ \sqrt{2}\underset{{\left( {x-\frac{\pi }{4}} \right)\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin \left( {x-\frac{\pi }{4}} \right)}}{{\left( {x-\frac{\pi }{4}} \right)}}$

        $ \displaystyle =\sqrt{2}\times 1$

        $ \displaystyle =\sqrt{2}$

Solution (2)

         Let $ \displaystyle t=x-\frac{\pi }{4}$ and hence $ \displaystyle x=t+\frac{\pi }{4}$

         When $ \displaystyle x\to \frac{\pi }{4}$, $ \displaystyle t\to 0$.

              $ \displaystyle \underset{{x\to \frac{\pi }{4}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x-\cos x}}{{x-\frac{\pi }{4}}}$ 

          $ \displaystyle = \underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin \left( {t+\frac{\pi }{4}} \right)-\cos \left( {t+\frac{\pi }{4}} \right)}}{t}$ 

         $ \displaystyle =\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin t\cos \frac{\pi }{4}+\cos t\sin \frac{\pi }{4}-\cos t\cos \frac{\pi }{4}+\sin t\cos \frac{\pi }{4}}}{t}$ 

         $ \displaystyle =\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2\sin t\cos \frac{\pi }{4}}}{t}$ 

         $ \displaystyle =\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2\sin t\left( {\frac{{\sqrt{2}}}{2}} \right)}}{t}$ 

         $ \displaystyle =\sqrt{2}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin t}}{t}$ 

         $ \displaystyle =\sqrt{2}\times 1$ 

         $ \displaystyle =\sqrt{2}$