Problem Study : Trigonometric Limit

Evaluate $ \displaystyle \underset{{x\,\to \,\pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}$.

$\displaystyle x$ ေနရာမွာ $\displaystyle \pi$ ကို တိုက္႐ိုက္ အစားသြင္းၾကည့္မယ္။

$ \displaystyle \underset{{x\to \pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\frac{{1-\cos 7(\pi -\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\frac{{1-1}}{0}=\frac{0}{0}$

တိုက္ရိုက္ အစားသြင္းၾကည့္တဲ့ အခါ indeterminate form ျဖစ္သြားပါတယ္။ Limit ကို ဆက္ရွာလို႔ မရေတာ့ပါဘူး။ အမွန္တကယ္က $ \displaystyle {x\to \pi }$ ဆိုတာ $\displaystyle x=\pi$ မဟုတ္ပါဘူး $\displaystyle \pi$ ေလာက္နီးနီးရွိေသာ တန္ဖိုးတစ္ခု ျဖစ္တာေၾကာင့္ limit တန္ဖိုး တစ္ခုရွိပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ indetrminate form ကို ေက်ာ္လႊားဖို႔ trigonometric identity တစ္ခ်ိဳ႕ကို သံုးပါမယ္။

Trigonometric Limit ဆိုင္ရာ မွန္ကန္ခ်က္ တစ္ခုျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \underset{{u\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin u}}{u}=1$ ဆိုတာရယ္ Limit ရဲ့ ဂုဏ္သတိၱ မ်ားျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {Cf(x)} \right]=C\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ နဲ႔ $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {f(x)\cdot g(x)} \right]=\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)$ ဆိုတာကို သိရွိထားရပါမယ္။

အျမင္ရွင္းသြားေအာင္ $ \displaystyle {x-\pi =t}$ လို႔ထားလိုက္မယ္။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle x$ က $\displaystyle \pi$ ကို ခ်ဥ္းကပ္သြားတဲ့အခါ $\displaystyle t$ က $\displaystyle 0$ ကို ခ်ဥ္းကပ္ သြားမွာေပါ့။ တြက္ၾကည့္ၾကစို႔။

Solution

Let $ \displaystyle {x-\pi }=t$.

When  $ \displaystyle {x\to \pi }$, then $ \displaystyle {t\to 0 }$.

$ \displaystyle \therefore \underset{{x\to \pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7t}}{{5{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 2\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{5{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 2\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\left[ {1-2{{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)} \right]}}{{{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{49}}{4}\times {{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{\frac{{49}}{4}\times {{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{{{{\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin \left( {\frac{{7t}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}(1)(1)$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{49}}{{10}}$