Trigonometric Limits

$ \displaystyle \odot O$ ဟာ unit circle (radius = $ \displaystyle 1$ unit) တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။ $ \displaystyle x$ radian ပမာဏရွိတဲ့ $\displaystyle \angle AOB$ ကို ဗဟိုမွာ တည္ေဆာက္ပါမယ္။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle A$ ကေန $ \displaystyle OB$ ေပၚကို ေထာင့္မတ္က်တဲ့မ်ဥ္း $ \displaystyle AC$ အလ်ားက $ \displaystyle \sin x$ ျဖစ္သြားမယ္။ ဘာ့ေၾကာင့္လဲ ... $\displaystyle \frac{{AC}}{{OA}}=\sin x$ ျဖစ္လို႔ပါ။

အမွတ္ $ \displaystyle B$ မွာ $ \displaystyle \odot O$ ကို tangent ျဖစ္တဲ့ မ်ဥ္းတစ္ေၾကာင္းဆြဲပါမယ္။ ၎ tangent မ်ဥ္းက $ \displaystyle OA$ ဆက္ဆြဲမ်ဥ္းကို $ \displaystyle D$ ျဖတ္ပါမယ္ $ \displaystyle OB$ က radius ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle DA\bot OB$ ျဖစ္ပါတယ္။

ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံ $ \displaystyle \vartriangle OBD$ မွာ $ \displaystyle \frac{{OD}}{{OB}}=\tan x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle OD = \tan x$ ျဖစ္ပါတယ္။

တစ္ခါ ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံ $ \displaystyle \vartriangle AOC$ မွာ $ \displaystyle \frac{{OC}}{{OA}}=\cos x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle OC = \cos x$ ျဖစ္ပါတယ္။

ဒါဆိုရင္ အခု $ \displaystyle \vartriangle AOB$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္မယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of } \vartriangle AOB=\frac{1}{2}\times OB\times AC$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times \sin x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sin x$

Sector $ \displaystyle AOB$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္ဦးမယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of sector AOB}=\frac{1}{2}\times O{{B}^{2}}\times x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}x$

အခုတစ္ခါ $ \displaystyle \vartriangle OBD$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္ဦးမယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of }\vartriangle OBD=\frac{1}{2}\times OB\times BD$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times \tan x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\tan x$

ပံုမွာ ျမင္ရတဲ့ အတိုင္း...

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of }\vartriangle OBD>\text{Area}\ \text{of sector AOB}>\text{Area}\ \text{of }\vartriangle AOB$

ျဖစ္တယ္ဆိုတာ သိသာေစပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{1}{2}\tan x>\frac{1}{2}x>\ \frac{1}{2}\tan x$ ျဖစ္မွာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \tan x>x>\sin x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{{\sin x}}{{\cos x}}>x>\sin x$ ျဖစ္မွာေပါ့။

ဒီေနရာမွာ $ \displaystyle \sin x, \cos x, \tan x$ တို႔ဟာ အနားေတြရဲ့ အလ်ားေတြ ျဖစ္လို႔ အေပါင္းကိန္းေတြ ျဖစ္တယ္လို႔ သိရပါမယ္။ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုလံုးကို $ \displaystyle \sin x$ နဲ႔ စားလိုက္ရင္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{1}{{\cos x}}>\frac{x}{{\sin x}}>1$ ျဖစ္ပါတယ္။

အေပါင္းကိန္းေတြရဲ့ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုမွာ တန္ဖိုးေတြကို ေျပာင္းျပန္လွန္ရင္ လကၡဏာက ဆန္႔က်င္ဘက္ကို ေျပာင္းရပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \cos x<\frac{{\sin x}}{x}<1$ ဆိုတာ ဖိုး $ \displaystyle 0$ မဟုတ္တဲ့ မည့္သည့္ေထာင့္တန္ဖိုး $ \displaystyle x$ အတြက္ မဆို မွန္ကန္တဲ့ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။

$ \displaystyle x=0$ ျဖစ္သြားရင္ေတာ့ $ \displaystyle \sin x= \sin 0=0, \cos x= \cos 0=1 $ ျဖစ္ေပမယ့္ $ \displaystyle \frac{{\sin x}}{x}= \frac{0}{0}$ ဆိုေတာ့ မေရမရာ ျဖစ္သြားပါေတာ့တယ္။

ဒါကို graphically ေျဖရွင္းႏိုင္ပါတယ္။ အေပၚက geogebra applet မွာ $ \displaystyle x$ တန္ဖိုးကို ေလွ်ာ့ၾကည္ပါ့။ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 0$ အနားကို ေရာက္လာေလေလ $ \displaystyle \sin x, x$ နဲ႔ $ \displaystyle \tan x$ တို႔ဟာ တစ္ထပ္ထဲ နီးပါ ျဖစ္လာပါေတာ့တယ္။ တနည္းဆိုေသာ္ $ \displaystyle \sin x\approx x\approx \tan x$ ျဖစ္လာတာေပါ့။ ဒါေၾကာင့္ ။ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 0$ အနားကို ေရာက္လာတဲ့အခါ $ \displaystyle \frac{{\sin x}}{x}\approx 1$ ျဖစ္သြားပါတယ္။ ဒါကို Limit Notation နဲ႔ $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x}}{x}=1$ လို႔ ေရးႏိုင္ပါတယ္။ အခ်ဳပ္ဆိုရရင္...

(1) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sin x} \right)=0$  (2) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\cos x} \right)=1$  (3) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)=1$