Sequences and Series

Sequence

A sequence is a function whose domain is either the set of all or part of the natural numbers. The values of the function (images) are called the terms of the of the sequence. 
Sequence ဆိုတာ Function တစ်ခုဖြစ်ပါတယ် ၎င်း၏ domain မှာ set of natural numbers (သဘာဝကိန်းများ ပါဝင်သော အစု) ဖြစ်ပါသည်။ Image များကိုတော့ term လို့ ခေါ်ပါတယ်။

ပုံတွင်

1 ၏ image သည် 1 ဖြစ်လို့ ⇒ f(1) = 1
2 ၏ image သည် 4 ဖြစ်လို့ ⇒ f(2) = 4
3 ၏ image သည် 9 ဖြစ်လို့ ⇒ f(3) = 9 
4 ၏ image သည် 16 ဖြစ်လို့ ⇒ f(4) = 16
⋮  

n ၏ image သည် n² ဖြစ်လို့ ⇒ f(n) = n² သတ်မှတ်နိုင်ပါတယ်။ အထက်ပါ သတ်မှတ်ချက်ဟာ function ကို လေ့လာခဲ့စဉ်က သတ်မှတ်သော functional notation ဖြစ်ပါတယ်။ Sequence မှာတော့ functional notation အစား အခြား notation ကို ပြောင်းသုံးပါမယ်။ ဒါ့ကြောင့်

$ \displaystyle f(1)$ အစား $ \displaystyle u_1 = 1^{\text{st}}\ \text{term}$

$ \displaystyle f(2)$ အစား $ \displaystyle u_2= 2^{\text{nd}}\ \text{term}$

$ \displaystyle f(3)$ အစား $ \displaystyle u_3= 3^{\text{rd}}\ \text{term}$

 ⋮
 $ \displaystyle f(n)$ အစား $ \displaystyle u_n= n^{\text{th}}\ \text{term}$ လို့ ပြောင်းသုံးပါမယ်။

The value of the function corresponding to the number n of the domain is called the n^th term or the general term of the sequence.

Domain ထဲရှိ အစုဝင် n နှင့် ဆက်စက်နေသော image ($ \displaystyle u_n$) ကို n^th term ဟု ခေါ်ပါတယ်။ ၎င်းကို sequence တစ်ခု ၏ general term လို့ လဲ သတ်မှတ်ပါတယ်။ Sequence ဖြစ်ပေါ်လာပုံ သေနည်း (Rule of Formation) လို့ ပြောနိုင်ပါတယ်။

Progression

When terms of a sequence are written under specific conditions, then the sequence is called a progression.

sequence တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်လာပုံနည်း စနစ်တစ်ခု နဲ့ တည်ဆောက်ထားရင် ... တစ်နည်း general term တည်ဆောက်နိုင်နိုင်ရင် progression လို့ ခေါ်ပါတယ်။

progression တိုင်းက sequence များ ဖြစ်ကြပေမယ့် sequence တိုင်းကတော့ progression တွေ မဟုတ်ကြပါဘူး...

(1) သဘာဝကိန်းများ
(2) နှစ်ထပ်ကိန်းတိများ
(3) သုဒ္ဓကိန်းများ 

အထက်ပါသတ်မှတ်ချက်တွေဟာ sequence တွေ ဖြစ်တယ်လို့ ဆိုနိုင်ပါတယ်.. ဒါပေမယ့် သဘာဝကိန်းနဲ့ နှစ်ထပ်ကိန်းတိများ ဆိုတဲ့ သတ်မှတ်ချက်အတွက် general term (formula) ရှာလို့ရပေမယ့် သုဒ္ဓကိန်း တွေအတွက်တော့ general term ရှာလို့မရပါဘူး ဒါ့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်တဲ့..

2, 3, 5, 7, 11, ... ဆိုတာ sequnce တစ်ခုလို့ ဆိုနိုင်သော်လည်း progression တစ်ခုတော့ မဟုတ်ပါဘူး။ အလားတူးပါပဲ.. 1976 မှ 2019 အထိ ချဲဂဏန်း (ပေါက်ဂဏန်းများ) ဆိုတာ sequence တစ်ခု ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် progression တော့ မဟုတ်ပါဘူး။ ဘယ်နှစ်ရဲ့ ဘယ်အကြိမ်မှာ ဘာဂဏန်း ထွက်လာမယ်လို့ အတိအကျ မသတ်မှတ်နိုင်လို့ပါပဲ။