Factor Formulae - Derivation

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ---(1)\\\\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta ---(2)\ \ \ \end{array}$

ဆိုတဲ့ Sum and Difference Formulae ေတြ ကို မွတ္မိၾကမယ္ ထင္ပါတယ္။

ညီမွ်ျခင္း (1) နဲ႔ (2) ကို ေပါင္းလိုက္မယ္...။

$ \displaystyle \sin (\alpha +\beta )+\ \sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta ---(*)$

ဆိုၿပီး ရလာမွာေပါ့...။

$ \displaystyle \alpha +\beta =\theta $ နဲ႔ $ \displaystyle \alpha -\beta =\phi $ လို႔ ထားလိုက္မယ္။

ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle \alpha =\frac{{\theta +\phi }}{2}$ နဲ႔ $ \displaystyle \beta =\frac{{\theta -\phi }}{2}$ ျဖစ္သြားမွာေပါ့...။

$ \displaystyle \alpha +\beta =\theta ,\ \alpha -\beta =\phi ,\ \ \alpha =\frac{{\theta +\phi }}{2},\beta =\frac{{\theta -\phi }}{2}$ တို႔ကို (*) မွာ အစားသြင္းလိုက္တဲ့ အခါ မွာေတာ့ ေအာက္ပါ factor formula ကို ရရွိမွာ ျဖစ္ပါတယ္။

$ \displaystyle \sin \theta +\ \sin \phi =2\sin \frac{{\theta +\phi }}{2}\cos \frac{{\theta -\phi }}{2}$

ဒီတစ္ခါ ညီမွ်ျခင္း (1) ထဲက (2) ကို ႏႈတ္ပါမယ္...။

$ \displaystyle \sin (\alpha +\beta )-\ \sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta $

အထက္ကအတိုင္း သက္ဆိုင္ရာတန္ဖိုးေတြ အစားသြင္းလိုက္ရင္ ...။

$ \displaystyle \sin \theta -\ \sin \phi =2\cos \frac{{\theta +\phi }}{2}\sin \frac{{\theta -\phi }}{2}$

Identity တစ္ခု ထပ္ရပါမယ္...။

ေနာက္ထပ္ညီမွ်ျခင္း ႏွစ္ၾကာင္း ကို ဆက္ၾကည့္ရေအာင္...။

$ \displaystyle \begin{array}{l} \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ---(3)\\\\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ---(4)\ \ \ \end{array}$

အထက္ပါအတိုင္း ညီမ ွ်ျခင္း ႏွစ္ေၾကာင္း (3) နဲ႔ (4) ကို ေပါင္းတစ္လွည့္ ႏႈတ္တစ္လွည့္ လုပ္လိုက္ရင္ ...။

$ \displaystyle \begin{array}{l}(3)+(4)\Rightarrow \ \ \ \cos (\alpha +\beta )+\ \cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta \\\\(3)-(4)\Rightarrow \ \ \ \cos (\alpha +\beta )-\ \cos (\alpha -\beta )=-2\cos \alpha \cos \beta \end{array}$

အထက္မွာ ရွာခဲ့ၿပီး ျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \alpha +\beta =\theta ,\ \alpha -\beta =\phi ,\ \ \alpha =\frac{{\theta +\phi }}{2},\beta =\frac{{\theta -\phi }}{2}$ တို႔ကို သက္ဆိုင္ရာ တန္ဖိုးေတြမွာ အစားသြင္းလိုက္ရင္...။

$ \displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta +\ \cos \phi =2\cos \displaystyle \frac{{\theta +\phi }}{2}\cos \displaystyle \frac{{\theta -\phi }}{2}\\\\\cos \theta -\ \cos \phi =-2\sin \displaystyle \frac{{\theta +\phi }}{2}\sin \displaystyle \frac{{\theta -\phi }}{2}\end{array}$