Calculus : Tangent Line and Normal Line

Find the equation of the normal to the curve $ \displaystyle y = 1 - x^2$ at the point where the curve crosses the positive $ \displaystyle x$-axis. Find also the coordinates of the point where the normal meets the curve again.

$ \displaystyle y = 1 - x^2$ ဆိုတဲ့ curve က အေပါင္း $ \displaystyle x$ ၀င္႐ိုးကို ျဖတ္သြားတဲ့ ေနရာမွာ ရွိတဲ့ normal line equation ကို ရွာေပးပါ။ ၎ normal line က curve ကို ေနာက္ တစ္ႀကိမ္ ျဖတ္သြားတဲ့ အမွတ္ကိုလည္း ရွာေပးပါ။ 

Curve က $ \displaystyle x$ ၀င္႐ိုးကို $ \displaystyle y=0$ ျဖစ္တဲ့ ေနရာမွာ ျဖတ္တာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ ေပးထားတဲ့ curve : $ \displaystyle 1 - x^2$ ကို 0 နဲ႔ ညီေပးလိုက္ရင္ curve ျဖတ္သြားတဲ့ $ \displaystyle x$ ၀င္႐ိုးေပၚက အမွတ္ေတြ ရၿပီေပါ့။ အေပါင္း $ \displaystyle x$ ၀င္႐ိုးလို႔ ေျပာထားတာလို႔ $ \displaystyle x$ $ \displaystyle \text{coordinate}$ မွာ အႏႈတ္ပါလာရင္ အႏႈတ္ တန္ဖိုးကို ပယ္ရပါမယ္။ 

Normal Line ရဲ့ equation ကို ရွာဖို႔ gradient (slope) ကိုလည္း သိရမယ္။ Normal Line ဆိုတာ tangent ေပၚ ေထာင့္မတ္က်လို႔ tangent gradient ရဲ့ အႏႈတ္လွန္ကိန္း (negative reciprocal) ျဖစ္ပါတယ္။ gradient of tangent =$ \displaystyle m$ ျဖစ္တယ္ဆိုရင္ normal ရဲ့ gradient က $ \displaystyle -\frac{1}{m}$ ျဖစ္မွာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ tangent ရဲ့ gradient ကို သိရင္ normal line equation ကို $ \displaystyle (y-{{y}_{1}})=-\frac{1}{m}(x-{{x}_{1}})$ ဆိုတာနဲ႔ ရွာလိုက္ရင္ ရၿပီ။ 

Gradient of tangent = $ \displaystyle \frac{dy}{dx}$ ဆိုတာ differentiation from the first principles ကတည္းက သိၿပီးျဖစ္မွာပါ။ tangent ရဲ့ gradient ကို ရဖို႔ ေပးထားတဲ့ curve ကို differentiate လုပ္ရင္ ရပါၿပီ။

Curve ကို differentiate လုပ္လို႕ရတဲ့ tangent ရဲ့ gradient ဆိုတာ general form (curve ေပၚမွာရွိတဲ့ မည္သည့္ေနရာကို မဆို ဆိုလိုတယ္)။ ေမးခြန္းက ေမးထားတာက အေပါင္း $ \displaystyle x$ ၀င္႐ိုးကို ျဖတ္ေသာေနရာလို႔ ဆိုထားလို႔ ရွာထားတဲ့  $ \displaystyle x$ ၀င္႐ိုး ျဖတ္မွတ္ [ $ \displaystyle (x_{1},y_{1})$ လို႔ ဆိုၾကပါဆို႔] အစားသြင္းလိုက္မွ လိုခ်င္တဲ့ tangent line ရဲ့ gradient ကို ရမွာေပါ့။ ဆိုလိုတာက $ \displaystyle m={{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|}_{{({{x}_{1}},{{y}_{1}})}}}$ ပါ။

Normal Line equation ရရင္ ေမးခြန္းက ထပ္ဆင့္ေမးထားတာက ၎ Normal Line က Curve ကို ေနာက္တစ္ႀကိမ္ ျဖတ္တဲ့အမွတ္ကို ရွာေပးပါလို႔ ဆိုထားပါတယ္။

Line ႏွစ္ေၾကာင္းျဖတ္မွတ္ဆိုတာ အလယ္တန္း အဆင့္မွာကတည္းက သိခဲ့ၿပီးပါၿပီ။ ၎ Line ႏွစ္ေၾကာင္းကို တၿပိဳင္နက္ ေျပလည္ေစတဲ့ $ \displaystyle x$ - $ \displaystyle \text{coordinate}$ နဲ႔ $ \displaystyle y$ - $ \displaystyle \text{coordinate}$ ကို ရွာခိုင္းတာ ျဖစ္ပါတယ္။

ထိုနည္းတူ ပါပဲ။ Curve နဲ႔ Normal Line တို႔ျဖတ္မွတ္ဆိုတာ ၎ Equation ႏွစ္ေၾကာင္းကို တၿပိဳင္နက္ ေျပလည္ေစတဲ့ $ \displaystyle x$ - $ \displaystyle \text{coordinate}$ နဲ႔ $ \displaystyle y$ - $ \displaystyle \text{coordinate}$ ကို ရွာေပးရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါဆိုရင္ ေျဖရွင္းရမယ့္ အဆင့္ေတြကို သိေလာက္ၿပီလို႔ ထင္ပါတယ္။ တြက္ၾကည့္ၾကစို႔။

Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\text{Curve : }y=1-{{x}^{2}}\\\\\text{When the curve cuts the }x-\text{axis, }y=0.\\\\\therefore 1-{{x}^{2}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}=1\Rightarrow x=\pm 1\\\\\text{But the required points lies on the }\\\text{positive }x-\text{axis, }\\\\\therefore x=1\\\\\text{Let }({{x}_{1}},{{y}_{1}})=(1,0)\\\\y=1-{{x}^{2}}\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}}=-2x\\\\\therefore m={{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|}_{{({{x}_{1}},{{y}_{1}})}}}={{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|}_{{(1,0)}}}=-2(1)=-2\\\\\text{Hence the equation of normal line at }({{x}_{1}},{{y}_{1}})\ \text{is}\\\\(y-{{y}_{1}})=-\frac{1}{m}(x-{{x}_{1}})\\\\y-0=\frac{1}{2}(x-1)\Rightarrow y=\frac{1}{2}(x-1)\\\\\text{When this normal line meets the curve,}\\\\\frac{1}{2}(x-1)=1-{{x}^{2}}\Rightarrow 2{{x}^{2}}+x-3=0\\\\\therefore (2x+3)(x-1)=0\\\\\therefore x=-\frac{3}{2}\ \text{or}\ x=1\\\\\text{When }x=-\frac{3}{2}\ ,y=\frac{1}{2}(-\frac{3}{2}-1)=-\frac{5}{4}.\end{array}$

$ \displaystyle \text{Therefore, the normal line meets}$
$ \displaystyle \text{the curve again at the point (}-\frac{3}{2},-\frac{5}{4}).$

Calculus : Tangent Line

Find the equation of the tangent to the curve y=2x² which is parallel to the secant of the curve which passes through the points on the curve which have the coordinates x=−1 and x=2.

Solution

$ \displaystyle \begin{array}{l}\text{Curve    : }y=2{{x}^{2}}\\\\\text{When }x=-1,y=2{{(-1)}^{2}}=2\\\\\text{When }x=2,y=2{{(2)}^{2}}=8\\\\\therefore \text{Gradient of secant = }\frac{{8-2}}{{2-(-1)}}=2\\\\\text{The gradient of tangent is }\frac{{dy}}{{dx}}.\\\\\therefore \ \frac{{dy}}{{dx}}=4x\\\\\text{By the problem, tangent }\parallel \ \text{secant}\text{.}\\\\\therefore \ \frac{{dy}}{{dx}}=2\Rightarrow 4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}\\\\\text{When }x=\frac{1}{2},y=2{{(\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{1}{2}\end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{l}\therefore \text{The tangent line touches the curve at (}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\text{)}\text{.}\\\\\therefore \text{Equation of tangent line to the curve at (}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\text{)}\ \text{is}\\\\\ \ y-\ \frac{1}{2}=2(x-\frac{1}{2})\Rightarrow y=2x-\frac{1}{2}.\end{array}$