Trigonometric Limits

$ \displaystyle \odot O$ ဟာ unit circle (radius = $ \displaystyle 1$ unit) တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။ $ \displaystyle x$ radian ပမာဏရွိတဲ့ $\displaystyle \angle AOB$ ကို ဗဟိုမွာ တည္ေဆာက္ပါမယ္။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle A$ ကေန $ \displaystyle OB$ ေပၚကို ေထာင့္မတ္က်တဲ့မ်ဥ္း $ \displaystyle AC$ အလ်ားက $ \displaystyle \sin x$ ျဖစ္သြားမယ္။ ဘာ့ေၾကာင့္လဲ ... $\displaystyle \frac{{AC}}{{OA}}=\sin x$ ျဖစ္လို႔ပါ။

အမွတ္ $ \displaystyle B$ မွာ $ \displaystyle \odot O$ ကို tangent ျဖစ္တဲ့ မ်ဥ္းတစ္ေၾကာင္းဆြဲပါမယ္။ ၎ tangent မ်ဥ္းက $ \displaystyle OA$ ဆက္ဆြဲမ်ဥ္းကို $ \displaystyle D$ ျဖတ္ပါမယ္ $ \displaystyle OB$ က radius ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle DA\bot OB$ ျဖစ္ပါတယ္။

ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံ $ \displaystyle \vartriangle OBD$ မွာ $ \displaystyle \frac{{OD}}{{OB}}=\tan x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle OD = \tan x$ ျဖစ္ပါတယ္။

တစ္ခါ ေထာင့္မွန္ ႀတိဂံ $ \displaystyle \vartriangle AOC$ မွာ $ \displaystyle \frac{{OC}}{{OA}}=\cos x$ ျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle OC = \cos x$ ျဖစ္ပါတယ္။

ဒါဆိုရင္ အခု $ \displaystyle \vartriangle AOB$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္မယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of } \vartriangle AOB=\frac{1}{2}\times OB\times AC$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times \sin x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sin x$

Sector $ \displaystyle AOB$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္ဦးမယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of sector AOB}=\frac{1}{2}\times O{{B}^{2}}\times x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}x$

အခုတစ္ခါ $ \displaystyle \vartriangle OBD$ ရဲ့ ဧရိယာကို ရွာၾကည့္ဦးမယ္။

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of }\vartriangle OBD=\frac{1}{2}\times OB\times BD$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\times 1\times \tan x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\tan x$

ပံုမွာ ျမင္ရတဲ့ အတိုင္း...

$ \displaystyle \ \ \ \ \text{Area}\ \text{of }\vartriangle OBD>\text{Area}\ \text{of sector AOB}>\text{Area}\ \text{of }\vartriangle AOB$

ျဖစ္တယ္ဆိုတာ သိသာေစပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{1}{2}\tan x>\frac{1}{2}x>\ \frac{1}{2}\tan x$ ျဖစ္မွာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \tan x>x>\sin x$

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{{\sin x}}{{\cos x}}>x>\sin x$ ျဖစ္မွာေပါ့။

ဒီေနရာမွာ $ \displaystyle \sin x, \cos x, \tan x$ တို႔ဟာ အနားေတြရဲ့ အလ်ားေတြ ျဖစ္လို႔ အေပါင္းကိန္းေတြ ျဖစ္တယ္လို႔ သိရပါမယ္။ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုလံုးကို $ \displaystyle \sin x$ နဲ႔ စားလိုက္ရင္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \frac{1}{{\cos x}}>\frac{x}{{\sin x}}>1$ ျဖစ္ပါတယ္။

အေပါင္းကိန္းေတြရဲ့ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုမွာ တန္ဖိုးေတြကို ေျပာင္းျပန္လွန္ရင္ လကၡဏာက ဆန္႔က်င္ဘက္ကို ေျပာင္းရပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ ...

$ \displaystyle \ \ \ \ \cos x<\frac{{\sin x}}{x}<1$ ဆိုတာ ဖိုး $ \displaystyle 0$ မဟုတ္တဲ့ မည့္သည့္ေထာင့္တန္ဖိုး $ \displaystyle x$ အတြက္ မဆို မွန္ကန္တဲ့ မညီမွ်ျခင္း တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။

$ \displaystyle x=0$ ျဖစ္သြားရင္ေတာ့ $ \displaystyle \sin x= \sin 0=0, \cos x= \cos 0=1 $ ျဖစ္ေပမယ့္ $ \displaystyle \frac{{\sin x}}{x}= \frac{0}{0}$ ဆိုေတာ့ မေရမရာ ျဖစ္သြားပါေတာ့တယ္။

ဒါကို graphically ေျဖရွင္းႏိုင္ပါတယ္။ အေပၚက geogebra applet မွာ $ \displaystyle x$ တန္ဖိုးကို ေလွ်ာ့ၾကည္ပါ့။ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 0$ အနားကို ေရာက္လာေလေလ $ \displaystyle \sin x, x$ နဲ႔ $ \displaystyle \tan x$ တို႔ဟာ တစ္ထပ္ထဲ နီးပါ ျဖစ္လာပါေတာ့တယ္။ တနည္းဆိုေသာ္ $ \displaystyle \sin x\approx x\approx \tan x$ ျဖစ္လာတာေပါ့။ ဒါေၾကာင့္ ။ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 0$ အနားကို ေရာက္လာတဲ့အခါ $ \displaystyle \frac{{\sin x}}{x}\approx 1$ ျဖစ္သြားပါတယ္။ ဒါကို Limit Notation နဲ႔ $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin x}}{x}=1$ လို႔ ေရးႏိုင္ပါတယ္။ အခ်ဳပ္ဆိုရရင္...

(1) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sin x} \right)=0$  (2) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\cos x} \right)=1$  (3) $ \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)=1$

Definition of a Limit

$ \displaystyle f(x)=\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}$ ဆိုတဲ့ function တစ္ခုကို စဥ္စားၾကည့္ရေအာင္ $ \displaystyle f(x)$ ဟာ ထည့္လိုက္တဲ့ $ \displaystyle x$ တန္ဖိုးတိုင္းအတြက္ output (image) တစ္ခု ထုတ္ေပးမွာေပါ့။ 

အေပၚက slider ကို ဆြဲၾကည့္ပါ။ 

ဒါေပမယ့္ $ \displaystyle x=1$ ျဖစ္သြားရင္ေတာ့ $ \displaystyle f(x)$ ဟာ ဘာလုပ္ရမွန္းမသိေတာ့ပါဘူး။ ဘာလို႔လဲ ဆိုေတာ့ $ \displaystyle f(1)=\frac{{1-1}}{{1-1}}=\frac{0}{0}$ ဆိုတာကို $ \displaystyle f(x)$ က နားမလည္ေတာ့ဘူးေလ။ 

ဘယ္ကိန္းကို မဆို ာ့ $ \displaystyle 0$ နဲ႔ စားျခင္းက အဓိပါယ္မရွိလို႔ပါပဲ။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 1$ ျဖစ္လို႔ မရဘူးေပါ့။ $ \displaystyle x=1$ မျဖစ္ရဘူးဆိုရင္ ဘယ္ေလာက္အထိ ျဖစ္ခြင့္ ရွိပါသလဲ။ 

$ \displaystyle x=1$ မျဖစ္ဖို႔ပဲ လိုတာ။ ။ $ \displaystyle 1$ မဟုတ္တဲ့ ဘယ္ကိန္းစစ္မဆို ျဖစ္လို႔ ရပါတယ္။ 

ကၽြန္ေတ့ာ္ ေက်ာင္းသားေတြကို သင္လိုက္သလို ေျပာရရင္ ။ $ \displaystyle 1$ ကို ထိလို႔ မရဘူး ထိရင္ ေရွာ့ပဲ။ မထိနဲ႔လို႔ ေျပာတာ.. မကပ္နဲ႔ လို႔ မေျပာတဲ့ အတြက္ ။ $ \displaystyle 1$ ရဲ့ အနားကို ကပ္ႏိုင္ သေလာက္ထိ ကပ္ၾကည့္မယ္..။ 

တကယ္ေတာ့ ကပ္ႏိုင္သေလာက္ဆိုတာ ဘယ္ေလာက္လဲ တိတိက်က် တန္ဖိုးေတာ့ မရွိဘူးေပါ့။ ေအာက္က ဇယားကိုၾကည့္ပါ။

$ \displaystyle x$ က $ \displaystyle 1$ အနားကို နီးကပ္လာေလေလ ... $ \displaystyle f(x)$ က $ \displaystyle 3$ အနားကို ေရာက္လာေလေလေပါ့။ 

$ \displaystyle x=1$ ဆိုၿပီး တိုက္ရိုက္ထည့္ လိုက္ရင္ေတာ့ ေရွာ့ပဲ...။ စိတ္ရွည္ရွည္နဲ႔ ကပ္ၾကည့္ လိုက္ရင္ေတာ့ ရလဒ္တစ္ခု ထြက္လာတာေပါ့။ 

ဒါကို Calculus မွာ $ \displaystyle f(x)$ ရဲ့ limit လို႔ သတ္မွတ္ၿပီး သေကၤတ အားျဖင့္ $ \displaystyle \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=3$ (The limit of f(x) as x approaches 1 is 3) လို႔ သတ္မွတ္ပါတယ္။ 

လက္ေတြ႔ပုစာၦေျဖရွင္းရာမွာေတာ့ ပုစာၦတိုင္းကို အခုလို ခ်ဥ္းကပ္ေျဖရွင္းဖို႔ မျဖစ္ႏိုင္ေတာ့တဲ့အတြက္ တိုက္ရိုက္အစားသြင္းၾကည့္တဲ့ အခါ $ \displaystyle f(1)=\frac{0}{0}$ (indeterminate form လို႔ ေခၚပါတယ္) ျဖစ္ရင္ discontinuity ကေန continuous condition (အစားသြင္းလို႔ ရမယ့္ အေျခအေနကို) ေျပာင္းလဲ ေျဖရွင္းၿပီးမွ တြက္ၾကရတာေပါ့။ 

အခုလို တြက္ပါမယ္။

$ \displaystyle \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}=\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}}{{x-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,({{x}^{2}}+x+1)\ \ \ \ \ \ \left[ {\text{continuous}\ \text{condition}} \right]$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 1+1+1\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 3\end{array}$

Definition of a limit

If $ \displaystyle f(x)$ becomes arbitrarily close to a single number $ \displaystyle L$ as $ \displaystyle x$ approaches $ \displaystyle c$ from either side, then the limit of $ \displaystyle f(x),$ as $ \displaystyle x$ approaches $ \displaystyle c$, is $ \displaystyle L$. This limit is written as

$ \displaystyle \underset{{x\to c}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=L$

Limit ပုစာၦမ်ား တြက္ရမွာ သိထားရမယ့္ properties ေတြကို ေတာ့ 👉 ဒီေနရာမွာ 👈 ဖတ္ၾကည့္ပါ။

Calculus - Limits

Limit ပုစ္ဆာများ တွက်ရာတွင် သိရှိနားလည်ထားရမည့် ဂုဏ်သတ္တိများ ကို လေ့လာသိရှိပြီးမှ ပုစ္ဆာများကို တွက်လျှင် ပို၍ နားလည်လွယ်ကူစေပါသည်။

1.      $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}$

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}=\ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}}{{x-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {{{x}^{2}}+x+1} \right]$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {{{x}^{2}}} \right)+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( x \right)+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( 1 \right)$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 1+1+1$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 3$

2.      $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x-1}}{{\sqrt[3]{x}-1}}$

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x-1}}{{\sqrt[3]{x}-1}}\ \ =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}}^{3}}-{{1}^{3}}}}{{\sqrt[3]{x}-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(\sqrt[3]{x}-1)\left[ {{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}}^{2}}+\sqrt[3]{x}+1} \right]}}{{\sqrt[3]{x}-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}}^{2}}+\sqrt[3]{x}+1} \right]$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^{2}}+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sqrt[3]{x}} \right)+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( 1 \right)$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 1+1+1$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 3$

3.      $ \displaystyle \underset{{x\to \sqrt{3}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}-9}}{{{{x}^{2}}+\sqrt{3}x-6}}\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \underset{{x\to \sqrt{3}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}-9}}{{{{x}^{2}}+\sqrt{3}x-6}}\ \ =\underset{{x\to \sqrt{3}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{({{x}^{2}}-3)({{x}^{2}}+3)}}{{(x-\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to \sqrt{3}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})({{x}^{2}}+3)}}{{(x-\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \underset{{x\to \sqrt{3}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x+\sqrt{3})({{x}^{2}}+3)}}{{(x+2\sqrt{3})}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \frac{{(\sqrt{3}+\sqrt{3})(3+3)}}{{(\sqrt{3}+2\sqrt{3})}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \frac{{12\sqrt{3}}}{{3\sqrt{3}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ 4$

4.      $ \displaystyle \underset{{x\to -2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x+10}}{{{{x}^{2}}-x-6}}\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \underset{{x\to -2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x+10}}{{{{x}^{2}}-x-6}}\ =\underset{{x\to -2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x+2)({{x}^{2}}+5)}}{{(x+2)(x-3)}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{x\to -2}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+5}}{{x-3}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{4+5}}{{-2-3}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{9}{5}$

5.      $ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x+10}}{{3{{x}^{3}}-x-6}}\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x+10}}{{3{{x}^{3}}-x-6}}\ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{3}}\left( {1+\frac{2}{x}+\frac{5}{{{{x}^{2}}}}+\frac{{10}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{{{x}^{3}}\left( {3-\frac{1}{{{{x}^{2}}}}-\frac{6}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1+\frac{2}{x}+\frac{5}{{{{x}^{2}}}}+\frac{{10}}{{{{x}^{3}}}}}}{{3-\frac{1}{{{{x}^{2}}}}-\frac{6}{{{{x}^{3}}}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{1+0+0+0}}{{3-0-0}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{3}$

6.      $ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{{-3}}}+5{{x}^{{-2}}}+8}}{{5{{x}^{{-3}}}-{{x}^{{-1}}}-2}}\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{{-3}}}+5{{x}^{{-2}}}+8}}{{5{{x}^{{-3}}}-{{x}^{{-1}}}-2}}\ \ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{{{{x}^{3}}}}+\frac{5}{{{{x}^{2}}}}+8}}{{\frac{5}{{{{x}^{3}}}}-\frac{1}{x}-2}}\ $

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{{{{x}^{3}}}}+\frac{5}{{{{x}^{2}}}}+8}}{{\frac{5}{{{{x}^{3}}}}-\frac{1}{x}-2}}\ $

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{0+0+8}}{{0-0-2}}\ $

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4$

7.       $ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}-12x-4}}{{{{x}^{3}}-8}}\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}-12x-4}}{{{{x}^{3}}-8}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {2+\frac{3}{x}-\frac{7}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{12}}{{{{x}^{3}}}}-\frac{4}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{3}}\left( {1-\frac{8}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2+\frac{3}{x}-\frac{7}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{12}}{{{{x}^{3}}}}-\frac{4}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\left( {1-\frac{8}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,x\cdot \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2+\frac{3}{x}-\frac{7}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{12}}{{{{x}^{3}}}}-\frac{4}{{{{x}^{4}}}}}}{{1-\frac{8}{{{{x}^{3}}}}}}\ $

$ \displaystyle =\infty $

8.       $ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+3x+2}}{{{{x}^{3}}+32{{x}^{2}}-5x-20}}\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+3x+2}}{{{{x}^{3}}+32{{x}^{2}}-5x-20}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {1+\frac{3}{x}+\frac{2}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}{{{{x}^{3}}\left( {1+\frac{{32}}{x}-\frac{5}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{20}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {1+\frac{3}{x}+\frac{2}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}{{x\left( {1+\frac{{32}}{x}-\frac{5}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{20}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{x}\cdot \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{{{{x}^{2}}}}}}{{1+\frac{{32}}{x}-\frac{5}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{20}}{{{{x}^{3}}}}}}\ $

$ \displaystyle =0$

9.       $ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}} \right)\ $

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}} \right)\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {\left( {\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}} \right)\times \frac{{\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}} \right]\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+2x+1-({{x}^{2}}+1)}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}\ $

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+2x+1}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}$

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}\left( {1+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}+\sqrt{{{{x}^{2}}\left( {1+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}}}$

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x}}{{x\sqrt{{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}+x\sqrt{{1+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}}}$

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt{{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}} \right)}}$

$ \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{2}{{\sqrt{{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}}}$

$ \displaystyle =\frac{2}{{\sqrt{{1+0+0}}+\sqrt{{1+0}}}}$

$ \displaystyle =\frac{2}{{\sqrt{1}+\sqrt{1}}}$

$ \displaystyle =1$

10.      $ \displaystyle \ \ \ \ \ \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1+2+3+...+n}}{{{{n}^{2}}}}$

Show/Hide Solution

Since $ \displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n$ is an arithmetic series with the first term $ \displaystyle 1$ and the common difference $ \displaystyle 1$ having $ \displaystyle n$ terms.

$ \displaystyle \therefore 1+2+3+\ldots +n=\frac{n}{2}(1+n)$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1+2+3+...+n}}{{{{n}^{2}}}}$

$ \displaystyle =\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{n+{{n}^{2}}}}{2}}}{{{{n}^{2}}}}$$ \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{n+{{n}^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}$

$ \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{n+{{n}^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}$

$ \displaystyle =\frac{1}{2}\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\cdot \lim }}}\,\frac{{{{n}^{2}}\left( {\frac{1}{n}+1} \right)}}{{{{n}^{2}}}}$

$ \displaystyle =\frac{1}{2}\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\cdot \lim }}}\,\frac{{\frac{1}{n}+1}}{1}$

$ \displaystyle =\frac{1}{2}\left( 1 \right)$

$ \displaystyle =\frac{1}{2}$

11.      $ \displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1+2+4+...+{{2}^{{n-1}}}}}{{{{2}^{n}}+1}}$

Show/Hide Solution

Since $ \displaystyle 1 + 2 + 4 + … + 2^{n – 1}$ is a geometric series with the first term $ \displaystyle 1$ and the common ratio $ \displaystyle 2$ having $ \displaystyle n$ terms.

$ \displaystyle \therefore 1+2+4+\ldots +{{2}^{{n-1}}}=\frac{{1({{2}^{n}}-1)}}{{2-1}}={{2}^{n}}-1$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1+2+4+...+{{2}^{{n-1}}}}}{{{{2}^{n}}+1}}\ \ \ \ $

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{2}^{n}}-1}}{{{{2}^{n}}+1}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{2}^{n}}(1-\frac{1}{{{{2}^{n}}}})}}{{{{2}^{n}}(1+\frac{1}{{{{2}^{n}}}})}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\frac{1}{{{{2}^{n}}}}}}{{1+\frac{1}{{{{2}^{n}}}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\frac{{1-0}}{{1+0}}$

$ \displaystyle \ \ \ =1$

12.      $ \displaystyle \ \underset{{t\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sqrt{t}+{{t}^{2}}}}{{2t-{{t}^{2}}}}$

Show/Hide Solution

Let $ \displaystyle x=\sqrt{t}$ then $ \displaystyle t = x^2$

As $ \displaystyle t\to \infty, t\to \infty $

$ \displaystyle \therefore \ \ \ \ \ \ \underset{{t\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sqrt{t}+{{t}^{2}}}}{{2t-{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x+{{x}^{4}}}}{{2x-{{x}^{4}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}(\frac{1}{{{{x}^{3}}}}+1)}}{{{{x}^{4}}(\frac{2}{{{{x}^{3}}}}-1)}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{{{{x}^{3}}}}+1}}{{\frac{2}{{{{x}^{3}}}}-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ =\frac{{0+1}}{{0-1}}$

$ \displaystyle \ \ \ =-1$

13.      $ \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\displaystyle \frac{{{{4}^{x}}-{{4}^{{-x}}}}}{{{{4}^{x}}+{{4}^{{-x}}}}}$

Show/Hide Solution

$ \displaystyle \ \ \ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\displaystyle \frac{{{{4}^{x}}-{{4}^{{-x}}}}}{{{{4}^{x}}+{{4}^{{-x}}}}}$

$ \displaystyle =\ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\displaystyle \frac{{{{4}^{x}}-\displaystyle \frac{1}{{{{4}^{x}}}}}}{{{{4}^{x}}+\displaystyle \frac{1}{{{{4}^{x}}}}}}$

$ \displaystyle =\ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\displaystyle \frac{{\left( {{{4}^{x}}-\displaystyle \frac{1}{{{{4}^{x}}}}} \right)\times \displaystyle \frac{1}{{{{4}^{x}}}}}}{{\left( {{{4}^{x}}+\displaystyle \frac{1}{{{{4}^{x}}}}} \right)\times \displaystyle \frac{1}{{{{4}^{x}}}}}}$

$ \displaystyle =\ \ \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\displaystyle \frac{{1-\displaystyle \frac{1}{{{{4}^{{2x}}}}}}}{{1+\displaystyle \frac{1}{{{{4}^{{2x}}}}}}}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}=\ \ \displaystyle \frac{{1-0}}{{1+0}}\\\\=1\end{array}$

Problem Study : Trigonometric Limit

Evaluate $ \displaystyle \underset{{x\,\to \,\pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}$.

$\displaystyle x$ ေနရာမွာ $\displaystyle \pi$ ကို တိုက္႐ိုက္ အစားသြင္းၾကည့္မယ္။

$ \displaystyle \underset{{x\to \pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\frac{{1-\cos 7(\pi -\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\frac{{1-1}}{0}=\frac{0}{0}$

တိုက္ရိုက္ အစားသြင္းၾကည့္တဲ့ အခါ indeterminate form ျဖစ္သြားပါတယ္။ Limit ကို ဆက္ရွာလို႔ မရေတာ့ပါဘူး။ အမွန္တကယ္က $ \displaystyle {x\to \pi }$ ဆိုတာ $\displaystyle x=\pi$ မဟုတ္ပါဘူး $\displaystyle \pi$ ေလာက္နီးနီးရွိေသာ တန္ဖိုးတစ္ခု ျဖစ္တာေၾကာင့္ limit တန္ဖိုး တစ္ခုရွိပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ indetrminate form ကို ေက်ာ္လႊားဖို႔ trigonometric identity တစ္ခ်ိဳ႕ကို သံုးပါမယ္။

Trigonometric Limit ဆိုင္ရာ မွန္ကန္ခ်က္ တစ္ခုျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \underset{{u\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin u}}{u}=1$ ဆိုတာရယ္ Limit ရဲ့ ဂုဏ္သတိၱ မ်ားျဖစ္တဲ့ $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {Cf(x)} \right]=C\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ နဲ႔ $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {f(x)\cdot g(x)} \right]=\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)$ ဆိုတာကို သိရွိထားရပါမယ္။

အျမင္ရွင္းသြားေအာင္ $ \displaystyle {x-\pi =t}$ လို႔ထားလိုက္မယ္။ ဒါဆိုရင္ $ \displaystyle x$ က $\displaystyle \pi$ ကို ခ်ဥ္းကပ္သြားတဲ့အခါ $\displaystyle t$ က $\displaystyle 0$ ကို ခ်ဥ္းကပ္ သြားမွာေပါ့။ တြက္ၾကည့္ၾကစို႔။

Solution

Let $ \displaystyle {x-\pi }=t$.

When  $ \displaystyle {x\to \pi }$, then $ \displaystyle {t\to 0 }$.

$ \displaystyle \therefore \underset{{x\to \pi }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7(x-\pi )}}{{5{{{(x-\pi )}}^{2}}}}=\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 7t}}{{5{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 2\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{5{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\cos 2\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\left[ {1-2{{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)} \right]}}{{{{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{49}}{4}\times {{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{\frac{{49}}{4}\times {{t}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{{\sin }}^{2}}\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{{{{\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}^{2}}}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}\underset{{t\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\sin \left( {\frac{{7t}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)\left( {\frac{{7t}}{2}} \right)}}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\times \frac{{49}}{4}(1)(1)$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{49}}{{10}}$

Properties of Limits

1.     $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)$ when $ \displaystyle f(x)$ is continuous at $ \displaystyle x=a$.
        Function သည် $ \displaystyle x=a$ တွင် continuous ဖြစ်နေလျှင် [$ \displaystyle f(a)$ တန်ဖိုးရှာနိုင်လျှင် (သို့) $ \displaystyle f(a)$ သည် indeterminate form
        မဖြစ်လျှင်] $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)$ ဟု ရေးနိုင်ပါသည်။

       Assume that the limits of functions $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$ and $\displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)$ exist and that $ \displaystyle c$ is any constant. Then 

2.  The limit of a constant times a function is the constant times the limit.
 

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {c\cdot f(x)} \right)=c\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)$

      
       Function ကို constant ဖြင့် မြှောက်ထားလျှင် function ကိုသာ limit ယူပြီး constant ဖြင့် မြှောက်ပေးရပါသည်။

              Example :

          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,(4x)$

          $ \displaystyle =4\underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,(x)$

          $ \displaystyle =4(3)$

          $ \displaystyle =12$

3.  The limit of a constant times a function is the constant times the limit. If $ \displaystyle h(x)=c$ for all $ \displaystyle x$, then

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,h(x)=\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,c=c$

      Function သည်ကိန်းသေ (constant function) ဖြစ်လျှင် function ကို limit ယူလျှင် မူလတန်ဘိုး constant သာ ပြန်ရသည်။

             Example :
             $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(3)=3$
             $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(2018)=2018$
             $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,(\sqrt{5})=\sqrt{5}$

4.     The limit of a sum or difference is the sum or difference of the limits.

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,[f\left( x \right)\pm g\left( x \right)]\text{ }=~\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)\pm \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g\left( x \right)$

        Function များ၏ ပေါင်းလဒ် နှုတ်လဒ်ကို Limit ယူလျှင် Function တစ်ခုချင်းစီကို Limit ယူပြီးမှ ပေါင်း၊ နှုတ် လုပ်ရသည်။

           Example :
           $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}+4x+1} \right)$
           $ \displaystyle =\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,3{{x}^{2}}+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,4x+\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,1$ 
           $ \displaystyle =3+4+1$
           $ \displaystyle =8$

          လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရိုးရှင်းသော အလယ်အဆင့်များကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။ 

5.     The limit of the product of two functions is the product of their limits (if they exist):   
 

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,[f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)]\text{ }=~\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)\cdot \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g\left( x \right)$

        Function များ၏မြှောက်လဒ်ကို Limit ယူလျှင် Function တစ်ခုချင်းစီကို Limit ယူပြီးမှ မြှောက် ရသည်။

           Example :
           $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {x\cdot \sqrt{x}} \right)$
           $ \displaystyle =\underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,x\cdot \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{x}$ 
           $ \displaystyle =4\sqrt{4}$
           $ \displaystyle =2$

      

          လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရိုးရှင်းသော အလယ်အဆင့်များကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။  

6.     The limit of quotient of two functions is the quotient of their limits, provided that 
        the limit in the denominator function is not zero: 

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)}}{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)}}$ if $ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,g(x)\ne 0$

        Function များ၏ စားလဒ်ကို Limit ယူလျှင် Function တစ်ခုချင်းစီကို Limit ယူပြီးမှ စား ရသည်။ 
          ပိုင်းခြေ Function ၏ Limit သည် 0 မဖြစ်ရပါ။

          Example :
          $ \displaystyle \ \ \ \ \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{2x-1}}$
          $ \displaystyle =\frac{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {{{x}^{2}}+1} \right)}}{{\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {2x-1} \right)}}$ 
          $ \displaystyle =\frac{{1+1}}{{2-1}}$
          $ \displaystyle =2$

     

      လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ပိုင်းခြေ 0 မဖြစ်လျှင် ရိုးရှင်းသော အလယ်အဆင့်များ ကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။ 

7 .

$ \displaystyle \underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{n}}={{\left[ {\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)} \right]}^{n}},\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[n]{{f(x)}}=\sqrt[n]{{\underset{{x\to a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)}}$ where the powr $ \displaystyle n$ can be any real number.

       ထပ်ကိန်း (ကိန်းရင်း) Function များကို Limit ယူလျှင် Function ကို Limit ယူပြီးမှ ထပ်ကိန်း (ကိန်းရင်း) ကို ရှာရပါသည်။

          Example (1): 

          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,{{x}^{5}}$

          $ \displaystyle ={{\left( {\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,x} \right)}^{5}}$ 

          $ \displaystyle ={{2}^{5}}$

          $ \displaystyle =32$

       

          Example (2): 

          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {2x-3} \right]}^{3}}$

          $ \displaystyle ={{\left[ {\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,(2x-3)} \right]}^{3}}$ 

          $ \displaystyle ={{\left[ {2\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,x-\underset{{x\to 2}}{\mathop{{\lim }}}\,3} \right]}^{3}}$

          $ \displaystyle ={{\left[ {2(2)-3} \right]}^{3}}$

          $ \displaystyle =1$

      

          Example (3): 

          $ \displaystyle \ \ \ \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[3]{{3{{x}^{2}}}}$

          $ \displaystyle =\sqrt[3]{{\underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {3{{x}^{2}}} \right)}}$

          $ \displaystyle =\sqrt[3]{{\left( {3\cdot \underset{{x\to 3}}{\mathop{{\lim }}}\,{{{\left( x \right)}}^{2}}} \right)}}$ 

          $ \displaystyle =\sqrt[3]{{3\cdot {{{(3)}}^{2}}}}$

          $ \displaystyle =3$

       လက်တွေ့ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရိုးရှင်းသော အဆင့်များကို ကျော်တွက်လေ့ရှိသည်။