Circle : Cyclic and Concyclic

Two circles intersect at $ \displaystyle C$ and $ \displaystyle D$. $ \displaystyle ABCD$ is a cyclic quadrilateral in one circle. $ \displaystyle BC$ produced meets the other circle at $ \displaystyle E$. Te points $ \displaystyle C, F, E$ and $ \displaystyle D$ are concyclic. $ \displaystyle AB$ produced meets $ \displaystyle EF$ produced at $ \displaystyle G$. Prove that $ \displaystyle GFDA$ is a cyclic quadrilateral.

$ \displaystyle \begin{array}{l}\text{Given }\ \text{ : }ABCD\text{ is a cyclic quadrilateral}\text{. }\\\text{ }\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ABG,BCE\ \text{and }EFG\ \text{are straight lines}\text{.}\\\\\text{To Prove : }GFDA\text{ is a cyclic quadrilateral}\text{.}\\\\\text{Proof : }\ \ \ ABCD\text{ is a cyclic quadrilateral}\text{.}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \theta +\beta =180{}^\circ \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Since }D,C,F,E\ \text{are concyclic,}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta =\varepsilon \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{But }\varepsilon +\gamma =\beta \ \text{(Sum of interior }\angle \text{s of }\Delta \text{ = exterior }\angle \text{)}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta +\gamma =\beta \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \theta +\delta +\gamma =180{}^\circ \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \angle ADF+\angle AGF=180{}^\circ \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore D,C,F,E\ \text{are concyclic}.\end{array}$

Circle : Concyclic and Cyclic

Two circles intersect at A and B. A line through A cuts the first circle at P and the second circle at Q. At P, a tangent PT is drawn and TQ produced meets the second circle again at R. Prove that the points P, T, R and B are concyclic. 

စက္၀ိုင္းႏွစ္ခု $ \displaystyle A$ နဲ႔ $ \displaystyle B$ မွာ ျဖတ္ၾကပါတယ္။ $ \displaystyle A$ ကို ျဖတ္ၿပီး မ်ဥ္းတစ္ေၾကာင္း ဆြဲရာမွာ ပထမစက္၀ိုင္းကို $ \displaystyle P$ မွာ ျဖတ္ၿပီး ဒုတိယ စက္၀ိုင္းကို $ \displaystyle Q$ မွာ ျဖတ္ပါတယ္။ အမွတ္ $ \displaystyle P$ မွာ ၀န္းထိမ်ဥ္းတစ္ေၾကာင္း $ \displaystyle PT$ ကို ဆြဲလိုက္ၿပီး တဖန္ အမွတ္ $ \displaystyle T$ မွ $ \displaystyle TQ$ ကို ဆက္ဆြဲရာ ဒုတိယ စက္၀ိုင္းကို $ \displaystyle R$ မွာထပ္ၿပီး ျဖတ္ပါတယ္။ $ \displaystyle P,T,R,B$  ဆိုတဲ့ အမွတ္ေလးခုဟာ စက္၀ိုင္းတစ္ခုထဲေပၚမွာ ရွိေၾကာင္း သက္ေသျပပါ။

ဒီေမးခြန္းမွာ စက္၀ိုင္းႏွစ္ခု လို႔ပဲေျပာၿပီး စက္၀ိုင္းႏွစ္ခုဟာ အျခားကန္႔သတ္ခ်က္ မပါ၀င္ပါဘူး။ ဒါ့ေၾကာင့္ စက္၀ိုင္းႏွစ္ခုကို ဆြဲတဲ့ အခါ အရြယ္မတူ ထပ္တူမညီတဲ့ စက္၀ိုင္းႏွစ္ခု အျဖစ္ဆြဲသင့္ပါတယ္။ ထပ္တူမညီဘူး လို႔လည္း ေျပာမထားတဲ့ အတြက္ ထပ္တူညီတာ ဆြဲရင္ေကာ မရႏိုင္ဘူးလားလို႔ ေမးစရာ ရွိပါတယ္။ ဆြဲလို႔က ရႏိုင္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ ထပ္တူညီတဲ့ ဂုဏ္သတၱိေတြကို သံုးခြင့္မရွိပါဘူး။ ထပ္တူညီျခင္းေၾကာင့္ (၁) အခ်င္း၀က္တူ၊ (၂) ထပ္တူညီေလးႀကိဳးမ်ား၊ (၃) ထပ္တူညီ အ၀န္းပိုင္းမ်ား ဆိုတဲ့ ဂုဏ္သတၱိေတြကို အျမင္အရ မွားယြင္း အသံုးျပဳမိတတ္ပါတယ္။ ေပးခ်က္အရ မပါ၀င္တဲ့ ဂုဏ္သတၱိ ေတြကို သံုးခြင့္မရွိပါဘူး။ ဒါေၾကာင့္ အပိုဂုဏ္သတၱိေတြ မပါ၀င္ေစတဲ့ ပံုမ်ိဳးကိုသာ ေရးဆြဲသင့္ပါတယ္။

ေမးခြန္းပါ ေပးခ်က္အရ ...

$ \displaystyle PT$ က $ \displaystyle \text{tangent}$ ျဖစ္ၿပီး $ \displaystyle PA$ က ပထမစက္၀ိုင္းရဲ့ ေလးႀကိဳးျဖစ္တာေၾကာင့္ $ \displaystyle \text{Theorem 4}$ ကို သံုးႏိုင္တဲ့ အခြင့္အေရး ရွိပါတယ္။ 

$ \displaystyle PTQ$ က ႀတိဂံျဖစ္တာေၾကာင့္ အတြင္းေထာင့္မ်ား ေပါင္းျခင္း $ \displaystyle 180{}^\circ $ ျဖစ္တယ္ ဆိုတဲ့ ဂုဏ္သတၱိ၊ ႀတိဂံ၏ အျပင္ေထာင့္သည္ အတြင္းမ်က္ႏွာခ်င္း ေထာင့္တစ္စံု ေပါင္းျခင္းနဲ႔ ညီတယ္ဆိုတဲ့ ဂုဏ္သတၱိမ်ားကို သံုးႏိုင္တဲ့ အခြင့္အေရး ရွိပါတယ္။ 

$ \displaystyle P,T,R,B$ ကို $ \displaystyle \text{concyclic}$ ျဖစ္ေၾကာင္း သက္ေသျပဖို႔ $ \displaystyle P,T,R,B$ အမွတ္ ေလးမွတ္ကို ဆက္သြယ္ၿပီး စတုဂံ၏ အတြင္းေထာင့္ တစ္စံုေပါင္းျခင္း $ \displaystyle 180{}^\circ $ ျဖစ္လွ်င္ ေထာင့္စြန္းမွတ္မ်ား စက္၀ိုင္းေပၚတြင္ က်ေရာက္သည္ (တစ္စက္၀န္းထဲ ရွိသည္) ဆိုတဲ့ $ \displaystyle \text{Theorem 9}$ ကို သံုးသင့္တယ္လို႔ ခန္႔မွန္းတြက္ဆ သင့္ပါတယ္။ ပံုပါအခ်က္အလက္အရ $ \displaystyle \text{Theorem 8}$ နဲ႔ $ \displaystyle \text{Theorem 10}$ ကို သံုးဖို႔ အခြင့္အေရး နည္းတယ္လို႔ ခန္႔မွန္းႏိုင္ပါတယ္။ 

အဲဒီလိုတြက္ဆႏိုင္ရင္ သက္ေသျပဖို႔ လြယ္ကူသြားပါၿပီ။ သက္ေသျပၾကည့္ ရေအာင္။

$ \displaystyle \text{Given      :}\ \ PT\ \text{is a tangent and }PQR\ \text{is a secant}\text{.}$

$ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PAQ\text{ is a straight line}\text{.}$ 

$ \displaystyle \text{To Prove :  }P,T,R\ \text{and }B\ \text{are concyclic}\text{.}$

$ \displaystyle \text{Proof       :  Draw }PB,AB\ \text{and }AR.\text{ }$

                    $ \displaystyle \text{Since}PT\ \text{is a tangent and }PA\ \text{is a chord of first circle,}$

                    $ \displaystyle {{\beta }_{1}}=\phi \ (\angle \ \text{between tangent and chord=}\angle \text{ in alt: segment})$

                   $ \displaystyle \text{And }\theta =\phi +\delta (\ \text{Exterior }\angle \ \text{of }\Delta \text{ = Sum of opposite interior }\angle \text{s)}$

                   $ \displaystyle \therefore \theta ={{\beta }_{1}}+\delta $

                  $ \displaystyle \text{Since}ABRQ\ \text{is a cyclic quadrilateral,}$

                  $ \displaystyle {{\beta }_{2}}+\theta =180{}^\circ $

               $ \displaystyle \therefore {{\beta }_{2}}+{{\beta }_{1}}+\delta =180{}^\circ \text{ }$

               $ \displaystyle \therefore \angle PBR+\angle PTR=180{}^\circ $

               $ \displaystyle \therefore P,T,R\ \text{and }B\ \text{are concyclic}\text{.}$