Trigonometry

Trigonometry

Trigonometry ဆိုတာ ႀတိဂံနဲ႔ သက္ဆိုင္ေသာ သခ်ၤာဘာသာရပ္လို႔ ေယဘုယ် အဓိပၸါယ္ဖြင့္ဆို ႏိုင္ပါတယ္။ ႀတိဂံ၏ အနားမ်ားႏွင့္ ေထာင့္မ်ား၏ ဆက္စပ္မႈကို ေလ့လာေသာ ဘာသာရပ္ျဖစ္သည္။ အသံုးခ်သခ်ၤာ (applied mathematics) ဘာသာရပ္တြင္ trigonometric functions မ်ားကို mathematical tools အျဖစ္ အသံုးျပဳ ပါသည္။ Trigonometry ၏က႑ခြဲျဖစ္ေသာ spherical trigonometry ကိုေတာ့ အာကာသပညာႏွင့္ ေရေၾကာင္း ပညာရပ္မ်ားတြင္ အသံုးျပဳသည္။

Angle

In trigonometry an angle is determined by rotating a ray about its endpoint from an initial position to terminal position.
ေထာင့္တစ္ခု၏ မူလ(အစ) လက္တံကို initial side ဟုေခၚၿပီး ေရြ႕လွ်ားလက္တံကို terminal side ဟု ေခၚသည္။ ေထာင့္မ်ားကို coordinate ျပင္ညီတြင္ ေဖၚျပေသာအခါ positive x-axis ကို initial side ဟု သတ္မွတ္သည္။




Positive and Negative Angles

Angles measured from the X-axis in an anticlockwise direction are positive angles.
Angles measured from the X-axis in an clockwise direction are negative angles.
ေထာင့္တစ္ခု ဆိုသည္မွာ အတိုင္းအတာ (magnitude) ျဖစ္ေသာေၾကာင့္ ပကတိ တန္ဖိုးတြင္ အေပါင္းအႏႈတ္ တန္ဖိုး သတ္မွတ္ ခ်က္ မရွိပါ။ Positive and negative ဟု ခြဲျခား သတ္မွတ္ျခင္းမွာ ဦးတည္ရာ (direction) ကို သတ္မွတ္ျခင္း ျဖစ္ပါသည္။ initial side မွ terminal side သို႔ နာရီလက္တံ ေျပာင္းျပန္ (anticlockwise direction) အတိုင္းေရြ႕လွ်ားလွ်င္ positive angle ဟု သတ္မွတ္ၿပီး နာရီ လက္တံအတိုင္း (clockwise direction) ေရြ႕လွ်ားလွ်င္ negative angle ဟု သတ္မွတ္သည္။

Radian Measure of an Angle

The radian measure of an angle is the ratio of the length of the arc (s) whose centre is at the vertex of the angle to the radius (r).
ေထာင့္တစ္ခု၏ radian measure ဆိုသည္မွာ ထိုေထာင့္၏ ေထာင့္စြန္းမွတ္ကို ဗဟိုျပဳေသာ စက္၀ိုင္းတစ္ခု၏ ေထာင့္လက္တံ ႏွစ္ခုၾကား အ၀န္းပိုင္းအလ်ား (s) ႏွင့္ အခ်င္း၀က္ (r) တို႔၏ အခ်ိဳးျဖစ္သည္။










Relation between Degree and Radian Measure













Six Trigonometric Ratios of a Right Angle

Trigonometric ratios ဆိုသည္မွာ ေထာင့္မွန္ႀတိဂံတစ္ခု၏ ေထာင့္မွန္မဟုတ္ေသာ ေထာင့္တစ္ခုႏွင့္ အနားမ်ား ၏ ဆက္စပ္မႈ အခ်ိဳးမ်ား ျဖစ္သည္။ ေထာင့္မွန္ႀတိဂံ တစ္ခု၏ Trigonometric Ratios မ်ားကို ေဖာ္ျပရလွ်င္-












Identities













Trigonometric Ratios of Special Angles

Trigonometric Ratios of Any Angles

ေထာင့္အတိုင္းအတာ အားလံုးအတြက္ အခ်ိဳးမ်ားကို ရွာႏိုင္ရန္ unit circle ကိုေလ့လာမည္။ Unit circle ဆိုသည္ မွာ Radius ပမာဏ 1 unit ရွိေသာ circle တစ္ခုျဖစ္သည္။ Circle ၏ ဗဟို(centre) ကို X-Y plane(Cartesian Plane) ၏ origin အျဖစ္သတ္မွတ္သည္။ Trigonometric ratios ရွာလိုေသာ ေထာင့္၏ initial side အျဖစ္ positive X-axis ကို သတ္မွတ္သည္။


ဆက္ပါမည္....................။

Answers For July-Test Question

အရင္အပါတ္က တင္ေပးခဲ့တဲ့ ေမးခြန္းရဲ့ အေျဖျဖစ္ပါတယ္။ ေမးခြန္းမွာ အမွားတခ်ိဳ႕ ပါသြားလို႔ ျပန္တင္ေပးထား ပါတယ္။

Chapter-2 မွာ ဒါေတြ သိထားရပါမယ္။

• Point ႏွစ္ခုၾကား Midpoint ဘယ္လိုရွာမလဲ။

• Non-vertical line တစ္ခုရဲ့ slope ဆိုတာဘာလဲ။

• Line segment တစ္ခု၏ အလ်ားကို distance formula နဲ႔ ဘယ္လိုရွာမလဲ။

• Line equation ဘယ္လိုရွာမလဲ။… ဆိုတာေတြကို သိရပါမယ္။

Chapter-3 နဲ႔ ပါတ္သက္ၿပီး

• Exponent ဆိုတာ ဘာလဲ။

• Rules for Exponent

• Radical ဆိုတာဘာလဲ။

• Rules for radicals

• Rationalize ျပဳလုပ္ျခင္း

• Exponential Equations စတာေတြကို သိရွိနားလည္ ထားရပါမယ္။

ေဖၚျပပါ အခ်က္မ်ားကို ေသေသခ်ာခ်ာ နားလည္ၿပီဆိုရင္ ေပးထားတဲ့ ေမးခြန္းကို အလြယ္တကူ ေျဖဆိုႏိုင္မွာ ျဖစ္ပါတယ္။ အေျဖမ်ားကို တိုက္ဆိုင္ စစ္ေဆးၾကည့္ပါ။ နားမလည္ပါက mail ပုိ႔ၿပီးေမးျမန္းႏိုင္ပါတယ္။ ေနာက္လပါတ္ေတြ အတြက္လည္း ဆက္လက္ၿပီး တင္ေပးသြားမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ၁၀-တန္းအတြက္လည္း ဆက္လက္ တင္ေပး သြားပါ့မယ္။ ေက်ာင္းသား၊ ေက်ာင္းသူမ်ားအားလံုး အခက္အခဲမရွိ ျဖတ္ေက်ာ္ႏိုင္ပါေစ။

အေျဖ

Sample Question for July Test

ဒီတပါတ္ sample question ေလးတစ္စံု တင္လိုက္ပါတယ္။

ဒီလပါတ္ စာေမးပြဲမွာ အခ်ိဳ႕က Chapter 2 နဲ႔ Chapter 3 အခ်ိဳ႕ကေတာ့ Chapter 3 ပဲေမးေတာ့မွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ေက်ာင္းေပၚမွာ မူတည္လို႔ေပါ့။ အဲဒီေတာ့ ဘာပဲေမးေမး အဆင္ေျပရေအာင္ ေလ့က်င့္ဖို႔ ႏွစ္ခန္းလံုး အႀကံဳး၀င္တဲ့ sample question တစ္စံု တင္ေပးလိုက္ပါတယ္။

၉-တန္း (grade-10) အတြက္ပါ။ 45min မဟုတ္ပဲ 90min ေမးခြန္းပါ။ ေက်ညက္စြာ ေလ့က်င့္ထားသူမ်ား အတြက္ ကေတာ့ အလြယ္တကူပဲ ေျဖဆိုႏိုင္မွာပါ။ ႀကိဳးစားၿပီး ေျဖဆိုၾကည့္ပါလား။

ဒီ post ကိုဖတ္မိတဲ့ ျပင္ပ ေက်ာင္းသားမ်ား (သို႔မဟုတ္ မိမိတို႔သားသမီးမ်ားကို ေလ့က်င့္ေစလိုတဲ့ မိဘမ်ား) လည္း ေျဖဆိုၿပီး အေျဖမ်ားကို စစ္ေဆး ေပးေစလိုတယ္ဆိုရင္ အျဖလႊာမ်ားကို scan ဖတ္ၿပီး email ကေန ေပးပို႔ႏိုင္ပါတယ္။ ေပးပို႔ရမယ့္ mail ကေတာ့ minnthureinmyaing@gmail.com ျဖစ္ပါတယ္။ စစ္ေဆးၿပီးရင္ သံုးသပ္ခ်က္မ်ားကို ျပန္လည္ေပးပို႔ေပးမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ေမးခြန္းရဲ့ အေျဖမ်ားကိုေတာ့ ေနာက္တစ္ပါတ္မွာ တင္ေပးပါ့မယ္။

ေက်ာင္းသား၊ ေက်ာင္းသူမ်ားအားလံုး ေအာင္ျမင္ထူးခၽြန္ပါေစေၾကာင္း ဆုမြန္ေကာင္း ေတာာင္းလိုက္ပါတယ္။

ဂ်ဴလိုင္လပါတ္ စာေမးပြဲအတြက္ ေလ့က်င့္ရန္ ေမးခြန္း

Introduction to Coordinate Geometry

Coordinate Geometry မွာ point ေတြကို coordinate ျပင္ညီေပၚမွာ ေနရာခ်သတ္မွတ္ပါတယ္။ ပံုကိုၾကည့္ပါ။

အလ်ားလိုက္ ၀င္႐ိုးကိုေတာ့ X-axis လို႔ေခၚပါတယ္။ ေဒါင္လိုက္၀င္႐ိုးကိုေတာ့ Y-axis လို႔ေခၚပါတယ္။ X-axis နဲ႔ Y-axis တို႔ျဖတ္သြားတဲ့ အမွတ္ကိုေတာ့ မူလမွတ္ (Origin) လို႔ေခၚပါတယ္။ X-axis နဲ႔ Y-axis တို႔ ပိုင္းျဖတ္ရာက ျပင္ညီမွာ အပိုင္းေလးပိုင္း (Quadrant) ျဖစ္လာပါတယ္။ လက္ယာဘက္ အေပၚဆံုးေထာင့္ အပိုင္းကို Quadrant-1 လို႔သတ္မွတ္ၿပီး နာရီလက္တံ ေျပာင္းျပန္လည္သည့္ အတိုင္း Quadrant ေတြကို အစဥ္လိုက္ သတ္မွတ္ပါတယ္။

Coordinate ျပင္ညီေပၚမွာ အမွတ္တစ္ခုရဲ့ တည္ေနရာကို X-axis ေပၚရွိအမွတ္နဲ႔ Y-axis ေပၚရွိ အမွတ္တို႔ ဆံုရာေနရာကို ေအာက္ပါအတိုင္း order pair နဲ႔သတ္မွတ္ပါတယ္။

The slope of a non-vertical Line

If a line L passes through the points (x₁,y₁) and (x₂,y₂), then the slope of the line L can be calculated by the formula





ေဒါင္လိုက္မဟုတ္တဲ့ line ေတြမွာ ေလွ်ာက္ေစာက္ (slope) လို႔ေခၚတဲ့ မတ္ေစာက္မႈကို အထက္မွာ ေဖၚျပထားတဲ့ ညီမွ်ခ်င္းႏွင့္ တြက္ယူႏိုင္ပါတယ္။


Chapter 2 ကအခုမွ ေရးေနရေပမယ့္ အားလံုးသင္ၿပီးေလာက္ပါၿပီ။ ဒါ့ေၾကာင့္ ေလ့က်င့္စရာေမးခြန္းေတြ လိုခ်င္ရင္ေတာ့ ေပးထားတဲ့ link ေတြမွာ ဆြဲလိုက္ပါ။

1.ေလ့က်င့္ရန္ ေမးခြန္း

2.မွတ္ရန္ အက်ဥ္းခ်ဳပ္္

3. ေမးခြန္းအတြက္ အေျဖမ်ား

ကိုအံ့မင္းညိဳ၏ ေမးခြန္းကို ေျဖၾကားျခင္း

Inequation နဲ႔ ပါတ္သက္ၿပီး ကိုအံ့မင္းညိဳက အခုလိုေမးပါတယ္။
x² + 2hx + c² ကုိရွင္းရင္ ရမယ့္ညီမွ်ျခင္းကုိ သိလုိပါတယ္...။ quadratic ကုိသံုးမယ္ဆုိရင္ တူညီပါ သလား..။ ဒါမွမဟုတ္ x = - h ± √(h²-c²) ကုိရပါသလား..။ ရွင္းျပေစခ်င္ပါတယ္ ခင္ဗ်ာ...။

ကိုအံ့မင္းညိဳ ေမးတာ x² + 2hx + c² = 0 ရဲ့ roots ကိုေမးတာလို႔ ထင္ပါတယ္။ ဒါကို ကၽြန္ေတာ္ completing square method ကိုသံုးၿပီး ရွင္းပါတယ္။

x² + 2hx + c² = 0 h,c Є R=the set of real numbers
x² + 2hx = - c²
x² + 2hx + h² = h²- c²
(x + h)² = h²- c²x + h = ± √(h²-c²)
x = - h± √(h²-c²)
If h² - c² 0, the roots are real.
If h²-c² the roots are complex.

Wolfram Alpha ၏ Result

Input:



Geometric figure:

Circular Cone

Integer Solution:









Solutions for the variable x:






Implicit derivatives:

Arithmetic Progression

Arithmetic Progression (A . P)

In a sequence the difference of any two consecutive terms is constant, then the sequence is called an arithmetic progression. That difference is called the common difference and is denoted by d.



Sequence တစ္ခုတြင္ ကပ္လွ်က္ရွိေသာ မည့္သည့္ကိန္းႏွစ္ခုမဆို ျခားနားျခင္း(ႏႈတ္ျခင္း) သည္ ကိန္းေသျဖစ္ လွ်င္ ၎ sequence ကို arithmetic progression ဟုေခၚသည္။



If u₁ , u₂ , u₃ , u₄ , - - -, u_n-1 , u_n is an A . P,then u₂ -u₁ = u₃ -u₂= u₄ -u₃ = - - - = u_n -u_n-1 = constant.

u_n -u_n-1 = d.

u_n = u_n-1 + d

Generally the first term (u₁₎ of a sequence is denoted by a.

Therefore ....

u₁ = a

u_n = u_n-1 + d

u₂ = u₁ + d = a + d

u₃ = u₂ + d = 2a + d

u₄ = u₃ + d = 3a + d

From above expression the n^th term of an arithmetic progression can be expressed as

un = a + (n-1)d

where ...

u_n = the n^th term

a = the first term

d = the common difference

n = number of term

Sequences and Series

Sequence



ေအာက္မွာေပးထားတဲ့ ကိန္းတန္းေလးကို ေလ့လာၾကည့္ရေအာင္။



1,4,9,16,25,...



အခုကိန္းတန္းမွာပါ၀င္တဲ့ ကိန္းလံုးေတြဟာ ေရးခ်င္သလို ေရးထားျခင္း (random) မဟုတ္ပါဘူး။ ကိန္းလံုးေတြ ေျပာင္းလဲမႈမွာ စနစ္တစ္ခု (တနည္းေျပာရရင္ function တစ္ခု) အရ ေျပာင္းလဲသြားတာပါ။ ဒါကို functional notation နဲ႔ေျပာရမယ္ဆိုရင္...



f(1) = 1 = 1²

f(2) = 4 = 2²

f(3) = 9 = 3²

f(4) = 16 = 4²

f(5) = 25 = 5² လို႔ဆိုႏိုင္တာေပါ။့



ဒါကိုၾကည့္ျခင္းအားျဖင့္ function ရဲ့ Domain ဟာ {1,2,3,4,5,...n}=the set of natural numbers ဆိုရပါမယ္။ ဒါဆိုရင္ အထက္ပါေျပာင္းလဲမႈကို ၾကည့္ရံုနဲ႔ function ရဲ့ general formula ကို အလြယ္တကူ ေျပာႏိုင္ပါၿပီ။

f(n) = n² ေပါ့...။



ဒါေၾကာင့္ sequence ဆိုတာဟာ special function လို႔ဆိုႏိုင္ၿပီး သူရဲ့ domain ကေတာ့ အၿမဲတမ္း သဘာ၀ကိန္း မ်ား ပါ၀င္ေသာအစု (the set of natural numbers) ျဖစ္ပါတယ္။ image ေတြကိုေတာ့ ဒီေနရာမွာ terms လို႔ ေျပာင္းလဲေခၚပါမယ္။ အေခၚအေ၀ၚ ေျပာင္းလဲမႈနဲ႔အတူ အသံုးျပဳမယ့္ symbols ေတြကိုလည္း ေျပာင္းလည္း သတ္မွတ္ပါတယ္။ အထက္မွာေပးထားတဲ့ ကိန္းလံုးေတြကို အခုလိုေခၚေ၀ၚ သတ္မွတ္ပါမယ္။

first term	=	u1	=	1
second term	=	u2	=	4
third term	=	u3	=	9
fourth term	=	u4	=	16
fifth term	=	u5	=	25
- - - - - - - -	- -	- -	- -	- -
nth term	=	un	=	n2

ဒီေနရာမွာ n^th term ကို general term သို႔မဟုတ္ general formula လို႔ဆိုႏိုင္ပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ sequence ကို အခုလို definition ဖြင့္ဆိုႏိုင္ပါတယ္။



Sequence

A sequence is a function whose domain is either the set of all or part of natural numbers. The values (images) of function are called terms .



Example 1

Find the first four terms of the sequence defined by u_n = 3n - 5.



Solution

u_n = 3n - 5

u₁ = 3(1) - 5 =-2

u₂ = 3(2) - 5 = 1

u₃ = 3(3) - 5 = 4

u₄ = 3(4) - 5 = 7

Therefore the fist four terms are -2, 1, 4, 7.



Exercises

Find the first four terms of the sequence defined by

(a) un = 2n + 3

(b) un = 3n2 - 2

(c) un = 4n2+ 3n - 5

Example2

Which term of the sequence defined by u_n = 4n - 23 is 25?



Solution

u_n = 4n - 23

Let the n^th term be 25.

Therefore u_n = 25

4n - 23 = 25

4n = 48

n = 12

Therefore the 12^th term is 25.